allgemeine AGM-Ungleichung

26.10.2012, 23:18	GG	Auf diesen Beitrag antworten »
allgemeine AGM-Ungleichung Meine Frage: Hallo, ich habe in einer HM1-Vorlesung etwas nicht verstanden! Es geht um die vollständige Induktion der allgemeinen AGM-Ungleichung, also genau das, was Huggy hier anspricht: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis Ich begreife dabei die Gültigkeit einer ganz bestimmten Gleichung nicht. Ich werde sie im Folgenden markieren. Ich würde mich über etwas Hilfe sehr freuen! Ich könnte am Montag auch den Prof fragen, aber mich quält das Problem ziemlich ... Meine Ideen: Vergleich zwischen dem geometrischen und arithmetischen Mittel von $\begin{eqnarray} a_{1}, ... , a_{n}>0 \end{eqnarray}$ . Behauptung: Für alle $\begin{eqnarray} a_{j}\in \mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} j=1, ... , n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ... \cdot a_{n}}\leq \frac{a_{1}+ a_{2}+ ... + a_{n}}{n}\Leftrightarrow \sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}a_{j}}\leq \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}a_{j} \end{eqnarray}$ Beweißmethode: vollständige Induktion a) Induktionsanfang $\begin{eqnarray} n=1\Rightarrow a_{1}=a_{1} \end{eqnarray}$ (w.A.) $\begin{eqnarray} n=2\Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{x\cdot y}\leq \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow xy\leq (\frac{x+y}{2})^{2}\\\\(x-y)^{2}=(x)^{2}-2xy+(y)^{2}\Leftrightarrow 2xy\leq (x)^{2}+(y)^{2}\\\\\Rightarrow xy\leq (\frac{x+y}{2})^{2}\Leftrightarrow xy\leq \frac{(x)^{2}+2xy+(y)^{2}}{4}\Leftrightarrow 4xy\leq (x)^{2}+2xy+(y)^{2}\Leftrightarrow 2xy\leq (x)^{2}+(y)^{2} \end{eqnarray}$ (w.A.) b) Induktion: Betrachte zunächst $\begin{eqnarray} n=2^{m} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m\in \mathbb N \end{eqnarray}$ 1) Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} m=1\rightarrow n=2\rightarrow \end{eqnarray}$ siehe a) 2) Induktionsschritt i) Annahme: $\begin{eqnarray} \sqrt[2^{m}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot ... \cdot a_{2^{m}}}\leq \frac{a_{1}+ a_{2}+ ... + a_{2^{m}}}{2^{m}}\Leftrightarrow \sqrt[2^{m}]{\prod_{j=1}^{2^{m}}a_{j}}\leq \frac{1}{2^{m}}\sum_{j=1}^{2^{m}}a_{j} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{j}\in \mathbb R_{>0} \end{eqnarray}$ ii)Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} \sqrt[2^{m}]{\prod_{j=1}^{2^{m}}a_{j}}\leq \frac {1}{2^{m}}\sum_{j=1}^{2^{m}}a_{j}\Leftrightarrow \prod_{j=1}^{2^{m}}a_{j}\leq (\frac{1}{2^{m}}\sum_{j=1}^{2^{m}}a_{j})^{2^{m}}\Leftrightarrow (\prod_{j=1}^{2^{m}}a_{j})(\prod_{j=2^{(m+1)}}^{2^{(m+1)}}a_{j})\leq ((\frac{1}{2^{m}}\sum_{j=1}^{2^{m}}a_{j})^{2^{m}})((<br /> \frac{1}{2^{m}}\sum_{j=2^{(m+1)}}^{2^{(m+1)}}a_{j})^{2^{(m+1)}})\Leftrightarrow (\prod_{j=1}^{2^{(m+1)}}a_{j})\leq ((\frac{1}{2^{(2m)}}(\sum_{j=1}^{2^{m}}a_{j}\sum_{j=2^{(m+1)}}^{2^{(m+1)}}a_{j}))^{2^{m}})\\\\xy\leq (\frac{x+y}{2})^{2}\\\\\Rightarrow (\prod_{j=1}^{2^{(m+1)}}a_{j})\leq ((\frac{1}{2^{(2m)}}(\frac{\sum_{j=1}^{2^{m}}a_{j}+\sum_{j=2^{(m+1)}}^{2^{(m+1)}}a_{j})}{2})^2)^{2^{m}})\Leftrightarrow (\prod_{j=1}^{2^{(m+1)}}a_{j})\leq(\frac{1}{2^{(2m+2)}}(\sum_{j=1}^{2^{(m+1)}}a_{j})^2))^{2m}\Leftrightarrow (\prod_{j=1}^{2^{(m+1)}}a_{j})\leq (\frac{1}{2^{(m+1)}}\sum_{j=1}^{2^{(m+1)}}a_{j}))^{2m+1} \end{eqnarray}$ c) Betrachte jetzt beliebige $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N : 2^{m-1}<n\leq 2^{m}, m\geq 2, a_{j}\in \mathbb R_{>0}, a_{k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}a_{j}>0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k=n+1, ... , 2^{m}\\\\\color{red}\prod_{j=1}^{n}a_{j}\cdot (\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}a_{j})^{2m-n}=\prod_{j=1}^{2^{m}a_{j}}\color{black}\Rightarrow \prod_{j=1}^{2^{m}}a_{j}\leq (\frac{1}{2^{m}}\sum_{j=1}^{2^{m}}a_{j})^{2^m}\Leftrightarrow \prod_{j=1}^{2^{m}}a_{j}\leq (\frac{1}{2^{m}}(\sum_{j=1}^{n}a_{j}+\sum_{k=n+1}^{2^{m}}a_{k}))^{2^m}\Leftrightarrow \prod_{j=1}^{2^{m}}a_{j}\leq (\frac{1}{2^{m}}\sum_{j=1}^{n}a_{j}+(2^{m}-n)(\frac{\sum_{j=1}^{n}a_{j}}{n\cdot 2^{m}})^{2^m}=(\frac{1}{2^{m}}\sum_{j=1}^{n}a_{j}+(1+\frac{2^{m}-n}{n}))^{2^m}=(\frac{1}{2^{m}}\sum_{j=1}^{n}a_{j}+(1+\frac{2^{m}}{n}))^{2^m}=(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}a_{j})^{2^m}\Leftrightarrow (\prod_{j=1}^{n}a_{j})(\frac{1}{n}\prod_{j=1}^{n}a_{j})^{2^{m}}\leq \frac{1}{n}\prod_{j=1}^{n}a_{j}\Leftrightarrow \prod_{j=1}^{n}a_{j}\leq (\frac{1}{n}\sum{j=1}^{n}a_{j})^n \end{eqnarray}$ Die rot markierte Gleichung verstehe ich nicht. Gilt wirklich: $\begin{eqnarray} \color{red}\prod_{j=1}^{n}a_{j}\cdot (\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}a_{j})^{2m-n}=\prod_{j=1}^{2^{m}a_{j}}\color{black} \end{eqnarray}$ ? /edit: Angeblich soll die Gleichung aus b) folgen. Aber in b) wurde nicht mit Gleichungen, sondern mit Ungleichungen gerechnet...
28.10.2012, 02:52	GG	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: allgemeine AGM-Ungleichung Ach! Ich erkenne gerade, dass ein Hilfssatz verwendet wurde: http://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung...trischen_Mittel ...

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