Komplexe Zahlen

27.10.2012, 00:59

Berger

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Ich hab hier noch mal eine Letzte Sache, und zwar es geht um Komplexe zahlen.
Ich glaub man könnte das Forum zur Komplexe zahlen spalten, sonst wird hier viel zu viel Big Laugh

Big Laugh

Ich weiß nicht ob man dafür einen Imaginären und Realteil Achse dafür braucht oder ob man auch so die aufgaben berechnen kann.

[attach]26377[/attach]

27.10.2012, 01:01

Equester

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Kannst du da schon iwas lösen?
Wegen mir auch nicht die a), sondern etwas anderes Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ich schaus mir allerdings erst morgen an. Gehe gleich ins Bett smile

smile

.

27.10.2012, 20:28

Berger

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ich würde jetzt bei gehen und mit Satz des Pythagoras erstmal den Betrag Z bzw. den Längen maß ausrechnen.

r= $\begin{eqnarray*} \sqrt{1^2+2^2} =2 \end{eqnarray*}$

und den Argument tan a= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{1} \end{eqnarray*}$ =1,107°

27.10.2012, 22:42

Equester

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Wo kommt den bei dir die 2 her?

Außerdem: $\begin{eqnarray*} \sqrt{1^2+2^2} =\sqrt{5}\neq2 \end{eqnarray*}$

27.10.2012, 23:29

Berger

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Von die zweite z.

28.10.2012, 14:11

Equester

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Wir arbeiten doch gerade nur mit $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ .
Die beiden "Formlen" sind richtig. Diese wende jetzt auf $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ an Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

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28.10.2012, 17:51

Berger

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da ist der haupt problem. Woher weiss ich was für ein zahl i ist?
zumindest wie gehe ich vor um heraus zu finden, was für eins das ist?

28.10.2012, 17:53

Equester

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Ah k

Augenzwinkern

.

z hat die Form z=a+bi. Also haben wir mit i -> b=1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2012, 18:54

Berger

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Also dann sollte ist die Rechnung folgendes sein:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1^{2}+1^{2}}=1,414 \end{eqnarray*}$

und den Argument
tan a = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1}=0,785° \end{eqnarray*}$

28.10.2012, 19:01

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

r=1,414 passt nun (oder genauer: $\begin{eqnarray*} r=\sqrt2 \end{eqnarray*}$ ).

Für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ (und nicht $\begin{eqnarray*} tan(\alpha) \end{eqnarray*}$ ) musst du aber deinen TR noch umstellen.
Du hast Radian eingestellt, willst aber Degree/Grad haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Sonst aber richtig: $\begin{eqnarray*} \alpha=45° \end{eqnarray*}$

Dann auf zum nächsten.

28.10.2012, 20:56

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

o.k hab auch 45° raus. da habe ich nicht aufgepasst.

nächstes :

$\begin{eqnarray*} z_{2} - z_{1}= (2-1)+(1-1)i=1+i \end{eqnarray*}$

28.10.2012, 21:04

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich weiß nicht, ob du das richtige meinst.
Also das mittlere ist an sich schon richtig, aber eigentlich hätte ich eher ein
(-1+1)i erwartet Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Falsch ist in jedem Falle 1+i als Ergebnis. Was ist nochmal (1-1)i?

(Übrigens fehlt bei z1 der Strich Augenzwinkern

Augenzwinkern

) -> \overline{z_1}

28.10.2012, 21:31

Berger

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Es heisst doch:

$\begin{eqnarray*} z_{1}=x_{1}+iy_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{2}=x_{2}+iy_{2} \end{eqnarray*}$

als rechnung:
$\begin{eqnarray*} z_{1}-z_{2}=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2}) \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt meine werte ersetze-

$\begin{eqnarray*} z_{1}-z_{2}=(1-2)+i(1-1)=-1+i \end{eqnarray*}$

auf deine frage 1-1= 0, aber ich in diesem fall plus negativ = negative?

28.10.2012, 21:37

Equester

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Das ist richtig, so wie du es schreibst.
Dazu passt aber deine Rechnung nicht: $\begin{eqnarray*} y_2=-1 \end{eqnarray*}$

Wir haben ohnehin nicht $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \overline{z_1} \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} z_1=1+i \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \overline{z_1}=1-i \end{eqnarray*}$

Davon bilde nun $\begin{eqnarray*} z_2-\overline{z_1} \end{eqnarray*}$ .

28.10.2012, 21:41

Berger

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das verstehe ich nicht, was sagt dieses Z oberstrich?

28.10.2012, 21:49

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kennst du nicht?
Das weißt darauf hin, dass unsere Zahl komplex konjugiert ist.
Schlag das mal nach, sollte iwo bei deinen Aufschrieben stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

28.10.2012, 22:21

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

o.k so wie ich das gelesen hab, das Imaginärteil wird zur negativen Teil. also das vorzeichen ändert sich und das Realteil bleibt unverändert.

$\begin{eqnarray*} z_{1}=x_{1}+iy_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{2}=x_{2}+iy_{2} \end{eqnarray*}$

als rechnung:
$\begin{eqnarray*} z_{2}-\vec{z_{1} } =(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2}) \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt meine werte ersetze-

$\begin{eqnarray*} z_{2}-\vec{z_{1} } =(1-2)+i(-1+1)=-1+i \end{eqnarray*}$

passt das jetzt?

28.10.2012, 22:49

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das hast du richtig gelesen.

$\begin{eqnarray*} z_{2}-\vec{z_{1} } =(1-2)+i(-1+1)=-1+i \end{eqnarray*}$

Die erste Klammer hast du vertauscht verwirrt

verwirrt

.
Die zweite Klammer ist richtig, aber nicht dein Ergebnis daraus. Was ist -1+1?
Was ist dann also (-1+1)*i?

28.10.2012, 23:12

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

-1+1 ist doch gleich null.

28.10.2012, 23:24

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Eben. Und was ist 0*iwas?

28.10.2012, 23:40

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaa ok jetzthabe ich verstanden. Denn i mal den klammer ist gleich null und nicht -1+ i.
Also als Ergebnis haben wir dann nur -1.

29.10.2012, 00:03

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nur halb richtig.
Wie ich schon sagte, hast du in der ersten Klammer die Zahlen vertauscht.
Nicht (1-2), sondern (2-1) haben wir.

Also: $\begin{eqnarray*} z_{2}-\vec{z_{1} } =(2-1)+i(-1+1)=1 \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.10.2012, 15:41

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

O.k das habe ich gut verstanden. Konjugation war mir wichtig, das ich da abstrich gemacht hab, zum merken Big Laugh

Big Laugh

Zur der nächste Aufgabe. das ist ein ganz Gewöhnlicher Multiplikation.
ich rechne mal vor:

Formel:
$\begin{eqnarray*} (a+bi)+(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i \end{eqnarray*}$

In Zahlen:

$\begin{eqnarray*} (1+1i)+(2-1i)=(2-1)+(-1+2)\cdot i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2-1)+(-1+2)\cdot i=1+1 \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt Konjugation doch durcheinander gekommen, ich weiß nicht ob ich die Vorzeichen in diesem fall ändern oder nicht.

29.10.2012, 15:54

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Konjugation meinst du denn? Hier haben wir keine.

Deine Berechnung zu i sind richtig (auch wenn das Ergebnis 1*i und nicht 1 ist).
Der erste Summand ist aber falsch. Beachte, dass in deiner Formel das d positiv ist.
Bei uns ist das negativ! Also nicht (2-1), sondern...

29.10.2012, 16:10

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

Formel:
$\begin{eqnarray*} (a+bi)+(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i \end{eqnarray*}$

In Zahlen:

$\begin{eqnarray*} (1+1i)+(2+1i)=(2-1)+(-1+2)\cdot i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2-1)+(-1+2)\cdot i=1+1 \end{eqnarray*}$

Korrigiert

29.10.2012, 16:18

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst nicht die Aufgabe ändern^^.

$\begin{eqnarray*} (1+1i)+(2+(-1)i)=(2-1)+(-1+1)\cdot i \end{eqnarray*}$
So jetzt nochmals. Korrigiere auch das Ergebnis für i! Das hast du gerade nicht gemacht.

30.10.2012, 19:57

Berger

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Freude

Big Laugh

die nächste Aufgabe ist eine Division Aufgabe, ich geh dann mal den ersten schritt vor

$\begin{eqnarray*} \frac{z_{1} }{z_{2}}= \frac{1+1}{2-1}\cdot \frac{2+1}{2+1}= \frac{2+1+2+1}{4+2-2-1}= \frac{2\cdot6}{2\cdot3}= 2 \end{eqnarray*}$

wie siehts aus?

30.10.2012, 20:06

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Die vorige Aufgabe ist noch nicht ganz fertig.
Ganz fertig sieht sie so aus:

$\begin{eqnarray*} (2-i)+(1+(-1)i)=(2-1)+(1-1)\cdot i=1+0*i=1 \end{eqnarray*}$

Die c) hast du absichtlich ausgelassen?

Zur d) Wo sind die ganzen i's hin? geschockt

geschockt

Gehe nach dieser Formel vor Augenzwinkern

Augenzwinkern

:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b\,\mathrm i}{c+d\,\mathrm i} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\cdot\mathrm i \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 20:37

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

oo.k das stimmt hab ganz vergessen. wir gehen gleich zur Multiplikation Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \frac{1+1\,\mathrm i}{2-1\,\mathrm i} = \frac{(1+1\,\mathrm i)(2-1\,\mathrm i)}{(2-1\,\mathrm i)(2-1\,\mathrm i)} = \frac{2-1}{4^2+1^2}+\frac{2+1}{4^2+1^2}\cdot\mathrm i = \frac{3}{16}\cdot i \end{eqnarray*}$

sieht das gut aus?

30.10.2012, 20:46

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Du hast die falsche Aufgabe gerechnet :P.
Wir wollen $\begin{eqnarray*} 2*\frac{z_2}{z_1} \end{eqnarray*}$ , du löst $\begin{eqnarray*} \frac{z_1}{z_2} \end{eqnarray*}$ ^^
(Dabei kannst du den Faktor 2 auch gerne erst mal weglassen).

Wenn man "deine Aufgabe" nimmt, dann ist die bis zum vorletzten Schritt richtig.
Was du dir aber unbedingt einprägen musst, ist, dass man einen Summanden mit i
und einen ohne i nicht einfach zusammenfassen darf!!!

$\begin{eqnarray*} \frac{1+1\,\mathrm i}{2-1\,\mathrm i} = \frac{(1+1\,\mathrm i)(2-1\,\mathrm i)}{(2-1\,\mathrm i)(2+1\,\mathrm i)} = \frac{2-1}{4^2+1^2}+\frac{2+1}{4^2+1^2}\cdot\mathrm i = \frac{1}{5}+\frac{3}{5}i \end{eqnarray*}$

ok? Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2012, 21:01

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

wieso wurde das hoch 2 weggelassen?

$\begin{eqnarray*} = \frac{2-1}{4^2+1^2}+\frac{2+1}{4^2+1^2}\cdot\mathrm i = \frac{1}{5}+\frac{3}{5}i \end{eqnarray*}$

wenn ich gerechent hätte, wäre dies raus gekommen, nach deiner Rechnung:

$\begin{eqnarray*} = \frac{2-1}{4^2+1^2}+\frac{2+1}{4^2+1^2}\cdot\mathrm i = \frac{1}{17}+\frac{3}{17}i \end{eqnarray*}$

und das ganze jetzt (mal 2)

30.10.2012, 21:03

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Aso, Copy+Paste-Fehler.
Du rechnest 4², dabei sollst du eigentlich 2²=4 rechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} = \frac{2-1}{2^2+1^2}+\frac{2+1}{2^2+1^2}\cdot\mathrm i = \frac{1}{5}+\frac{3}{5}i \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 21:19

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

ooh , ich hab auch Fehler gemacht Rechnung, es kommt das selbe raus.

und nun das ganze mal zwei?
jetzt alle werte (mal zwei) erweitern?

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot1}{2\cdot5}+\frac{2\cdot3}{2\cdot5}i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{10}+\frac{6}{10}i \end{eqnarray*}$

Funktioniert?

30.10.2012, 21:49

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das passt nicht.

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{a}{b}=\frac{2a}{b}\neq\frac{2a}{2b}=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 22:03

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

etwa so?

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot1}{5}+\frac{2\cdot3}{2\cdot5}i \end{eqnarray*}$

Funktioniert?

30.10.2012, 22:09

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Schon besser. Aber warum du im letzten Summanden noch eine 2 im Nenner hast verwirrt

verwirrt

.
Copy+Paste-Fehler?

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\frac{2\cdot1}{5}+\frac{2\cdot3}{5}i \end{eqnarray*}$

Das ist so nun richtig. Das Problem ist: Das war gar nicht gefragt. Sondern,

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\frac{z_2}{z_1} \end{eqnarray*}$

Jetzt weißt du ja wie es geht. Also nochmals für die Rechnung bitte Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

30.10.2012, 22:15

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

ooh ja kopy+past fehler..

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{5}+\frac{6}{5}i= \frac{8}{10}\cdot i \end{eqnarray*}$

sind wir am ende oder müssen wir noch mit $\begin{eqnarray*} \frac{8}{10}\cdot i \end{eqnarray*}$ was machen?

30.10.2012, 22:19

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Was du dir aber unbedingt einprägen musst, ist, dass man einen Summanden mit i
und einen ohne i nicht einfach zusammenfassen darf!!!

Stell dir vor das i ist ein x. Du würdest doch auch nicht 5+5x zu 10x zusammenfassen.
Oder doch?^^

30.10.2012, 22:20

Berger

Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt.. ähm wie gehe ich dann bei? etwa so?

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{5}+\frac{6}{5}i= \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 22:24

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist einfach fertig^^. Da gibts nichts weiter zu tun Big Laugh

Big Laugh

.

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