Wie löse ich eine Sinus-Cosinus-Gleichung nach Alpha auf?

27.10.2012, 10:13

Sin_und_Cos

Wie löse ich eine Sinus-Cosinus-Gleichung nach Alpha auf?

Hallo zusammen,

wie der Titel schon sagt, habe ich eine Gleichung, die ich nicht aufgelöst bekomme, nach dem Winkel.

Die Gleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} \frac{9}{2} + \sin^{2}(\alpha ) = 10 * \cos(\alpha )*\sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$

Mit den zwei Additionstheoremen
$\begin{eqnarray*} 2*\sin(\alpha ) *\cos(\alpha) = \sin(2*\alpha) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \sin^{2}(\alpha)=\frac{1}{2} *(1-\cos(\alpha)) \end{eqnarray*}$
komme ich auch nicht wirklich weiter.

Es wäre toll, wenn mir jemand den entscheidenden Tipp geben kann.

Viele Grüße und besten Dank!

27.10.2012, 10:21

Mystic

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RE: Wie löse ich eine Sinus-Cosinus-Gleichung nach Alpha auf?

Zitat:

Original von Sin_und_Cos
Mit den zwei Additionstheoremen
$\begin{eqnarray*} 2*\sin(\alpha ) *\cos(\alpha) = \sin(2*\alpha) \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \sin^{2}(\alpha)=\frac{1}{2} *(1-\cos(\alpha)) \end{eqnarray*}$
komme ich auch nicht wirklich weiter.

Kein Wunder, denn die zweite Formel stimmt ja auch gar nicht... geschockt

27.10.2012, 11:40

Leopold

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Vielleicht sollte man dazusagen, daß es sich nicht um einen größeren Fehler, sondern wohl um einen Schreibfehler handelt. Sin_und_Cos' Idee ist brauchbar.

Ich hätte aber noch eine alternative Lösungsidee: Man dividiere die Gleichung durch $\begin{eqnarray*} \cos^2 \alpha \end{eqnarray*}$ . Das ist möglich, denn die Nullstellen des Cosinus sind keine Lösungen der Gleichung, wie man direkt nachrechnet. Danach kann man die Gleichung so umschreiben, daß sie als einzige trigonometrische Funktion den Tangens enthält. Es läuft dann auf eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} x = \tan \alpha \end{eqnarray*}$ hinaus.

27.10.2012, 11:53

riwe

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RE: Wie löse ich eine Sinus-Cosinus-Gleichung nach Alpha auf?
eine lösung sieht man beim hinschauer, die heißt 45° Augenzwinkern

27.10.2012, 12:19

Sin_und_Cos

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Hallo zusammen,

vielen Dank für die Antworten. Ich habe eine 2 vergessen, ich habe es falsch aus dem Buch geschrieben, stimmt.
Durch scharfes hinsehen erkennt man die 45° Lösung, durch noch schärferes hinsehen und einem Matheprogramm bekommt man auch die zweite Lösung mit 39,29° heraus Augenzwinkern

. Nur will ich eben die Gleichung auflösen.

Leopold, du meinst dann zu dieser Gleichung?
$\begin{eqnarray*} \frac{9*\cos^{2}(\alpha)}{2} +\tan^{2}(\alpha)=10*\tan(\alpha) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wie mir das weiterhelfen kann?

27.10.2012, 12:43

Mystic

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Zitat:

Original von Sin_und_Cos

Leopold, du meinst dann zu dieser Gleichung?
$\begin{eqnarray*} \frac{9*\cos^{2}(\alpha)}{2} +\tan^{2}(\alpha)=10*\tan(\alpha) \end{eqnarray*}$

Ja, "scharfes Hinsehen" liegt dir ganz offensichtlich nicht, sonst hättest du auch gesehen, dass $\begin{eqnarray*} \cos^2(\alpha) \end{eqnarray*}$ im Nenner stehen muss... unglücklich

27.10.2012, 14:04

Leopold

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Und beachte: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \text{Ausdruck mit} \ \tan \alpha \end{eqnarray*}$

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