Konstruktion einer Strecke an zwei Kreisen

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GeoMat Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion einer Strecke an zwei Kreisen
Meine Frage:
Hallo ihr Matheboardler,

habe euch meine Aufgabe als Anhang gegeben.

Die im Hinweis genannte Aufgabe (a), war die Beschreibung einer Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks aus gegebener Hypotenuse und einer Kathete.

Meine Ideen:
Grundsätzlich mach ich die Annahme (als Rückschau), ich habe x auf dem Kreis schon gefunden, ziehe Gerade durch x und A und erhalte y.

Ziehe dann eine Parallele g zu xy durch M1. Fälle danach das Lot durch M2 an Strecke xy. Das Lot schneidet die eben konstruierte Parallele g in Punkt C.

An Punkt C liegt ein rechter Winkel, der ist nämlich Stufenwinkel zu dem Winkel am Lot, weil g und xy parallel sind.

Wenn dort ein rechter Winkel vorliegt ist das Dreieck M1M2C rechtwinklig und C liegt auf dem Umkreis von Dreieck M1M2C. Dessen Mittelpunkt wäre aus den gegebenen Größen eindeutig konstruierbar.

Jetzt müsste ich also noch zeigen, mit Hinweis von dieser Aufgabe (a), dass ich aus den gegebenen Größen auch eine Kathete von M1M2C konstruieren kann, doch hier komm ich nicht weiter.

---
Vermute irgendwie, dass mir das Trapez M1M2yx weiterhelfen könnte, aber auch da ist bisher noch eine Sackgasse.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie scheinst du mir die Sache verkehrt herum aufzuziehen. Rückwärts denken, dann aber vorwärts gehen!
Überlege erst, warum die Strecke von nach genau die Länge haben muß. Dann kannst du zu vorgegebenem über der Strecke von nach ein rechtwinkliges Dreieck mit der Kathete gegenüber von konstruieren. Und dann ist es nur noch ein kleiner Schritt zur gesuchten Strecke.
Natürlich gibt es nicht zu jedem eine Lösung.
 
 
GeoMat Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es nicht zu jedem a eine Lösung gibt, ist mir klar. Beim Rückwärtsgehen bin ich bisher halt nicht darauf gekommen, dass die Strecke M1C halb so lang ist wie die Strecke xy.

Warum das so ist, ist mir allerdings noch schleierhaft. Wenn ich das beweisen könnte, ist die restliche Konstruktion natürlich klar.

Würdest du mir noch einen Hinweis geben?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Hälften zweier Summanden ergeben zusammen die Hälfte der Summe (Distributivgesetz).
GeoMat Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold, ich weiß worauf du hinauswillst, dafür muss aber sicher gestellt sein, dass der Punkt A die Strecke xy genau halbiert. Ich sehe, dass das so ist, aber wie kann ich das genau beweisen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der Punkt halbiert die Strecke nicht.

Die Längen der Strecken seien . Dann gilt:

riwe Auf diesen Beitrag antworten »

muß man nicht.
eine variante wäre
GeoMat Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ichs verstanden! Danke.
honigmelone2 Auf diesen Beitrag antworten »
es geht weiter ;-)
Hallo an alle Matheboardler! smile

Ich habe am Wochenende an der gleichen Aufgabe wie GeoMat gesessen und sie dank den Tipps hier auch bequem und voll verständlich lösen können. Danke dafür!

Nun gibt es aber zu genau dieser Aufgabe (b) noch eine darauf aufbauende Aufgabe (c). In dieser geht es darum, mittels der in (b) erlernten Konstruktionsmethode ein "Dreieck um ein Dreieck" zu konstruieren, bei dem alle Seitenlängen beider Dreiecke "sinnvoll" (d.h. die Konstruktion ist grundsätzlich möglich) vorgegeben sind.

Es ist für mich leicht einsehbar, dass diese Konstruktion grundsätzlich nicht immer möglich sein kann. Wählt man z.B. ein "winziges" Dreieck MNK, so kann man es nie erreichen, dass alle seine Ecken auf den Seiten des "riesigen" Dreiecks ABC liegen können.

Ich bin für mich soweit gekommen, dass ich A' mit Y, B' mit X und M mit A identifizieren kann (zweite Punkte entsprechend Aufgabe b). Allerdings finde ich keinen Zugang, wie ich die entsprechenden Mittelpunkte M1 und M2 zu wählen habe, geschweige denn "geschickt" ihre Radien.

Sobald ich eine Seite des Dreieck A'B'C' habe, ergibt sich der Rest aus dem Kongruenzsatz SSS.

Hat jemand einen Tipp für mich?

Vielen Dank!


(Die Aufgabe ist als Link zum Bild sowie Anhang eingefügt.)

Edit (mY+): Und dieser Link wird entfernt, weil solche zu externen Bildhostern nicht gestattet sind.
GeoMat Auf diesen Beitrag antworten »

Hier auch wieder ans Rückwärtsarbeiten denken. Nimm an du hast die Kreise schon gefunden, die du brauchst. Wenn du die hast, weißt du auch wie du deren Mittelpunkte konstruierst, da kann man dann auch den Hinweis nutzen Augenzwinkern
honigmelone2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Rückwartsdenken habe ich auch die ganze Zeit versucht, aber leider ohne den Erfolg wie bei Aufgabe (b). Ich finde halt leider gar keinen Ansatz, wo ich überhaupt die beiden Kreise hinlege was deren Mittelpunkte und ihre Radien betrifft. unglücklich
honigmelone2 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es selbst noch gefunden - war ja doch gar nicht so schwer. Freude

Zweimal Peripheriewinkelsatz, viermal Außenwinkel antragen und dann die Konstruktion aus (b). Alles verbinden & fertig. Müßte so hoffentlich passen, setzt aber wie gesagt "geeignete" Dreiecke MNK und ABC voraus.

Falls irgendwann irgendjemand diese doch irgendwie trickreiche Aufgabe einmal lösen muss, habe ich meine handschriftlichen Notizen angehangen - ich hoffe, man kann es lesen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Leider enthält die Konstruktion einen schweren Fehler: Du hast "Thaleskr..." mit "ß" geschrieben. Scheußßßlich! geschockt

Sonst aber eine hübsche Aufgabe und eine schöne Konstruktion! Freude
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und hier noch die Konstruktion von honigmelone2 mit Euklid.
honigmelone2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Leider enthält die Konstruktion einen schweren Fehler: Du hast "Thaleskr..." mit "ß" geschrieben. Scheußßßlich! geschockt

Das ist meine Handschrift - da schmiert der i-Punkt immer in den nächsten Buchstaben. Augenzwinkern Mir ist die richtige Schreibweise von Kreis durchaus bekannt, wie man in meinen vorherigen Postings lesen kann. smile Sorry für das Geschmiere.

Zitat:
Original von Leopold
Sonst aber eine hübsche Aufgabe und eine schöne Konstruktion! Freude

Danke!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von honigmelone2
Zitat:
Original von Leopold
Leider enthält die Konstruktion einen schweren Fehler: Du hast "Thaleskr..." mit "ß" geschrieben. Scheußßßlich! geschockt

Das ist meine Handschrift - da schmiert der i-Punkt immer in den nächsten Buchstaben. Augenzwinkern


Erst wollte ich dir für diese wunderbare Ausrede 15 Punkte geben. Schöner kann man nicht schwindeln!

Aber leider bekommst du die 15 Punkte jetzt doch nicht. Denn ich glaube, du hast recht. Wenn man scharf hinschaut, bist du ein i-Punkt-Verschmierer!

Augenzwinkern
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