Stetigkeit der Umkehrfunktion im mehrdimensionalen

27.10.2012, 12:03	AufDemSchlauchSteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit der Umkehrfunktion im mehrdimensionalen Meine Frage: Ich habe folgende Aufgabe. Sei X ein metrischer Raum, K als Teilmenge von X kompakt und $\begin{eqnarray} f:K->\mathbb R ^{m} \end{eqnarray}$ eine stetige, injektive Abbildung. Zeigen Sie, dass auch $\begin{eqnarray} f^{-1} :f(K)->X \end{eqnarray}$ stetig ist. Stimmt dies auch noch wenn $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{m} \end{eqnarray}$ durch einen beliebigen metrischen Raum Y ersetzt wird? Meine Ideen: Mein Ansatz ist der folgende. Aus der Stetigkeit von f und der Kompaktheit von K kann ich nach unserem Skript folgern, dass f(K) als Teilmenge von Y auch kompakt ist. Aufgrund der zweiten Frage vermute ich, dass die Behauptung nicht mehr gilt, wenn der zweite Raum Y ist, d.h. ich muss wohl irgendeine Eigenschaft des $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{m} \end{eqnarray}$ verwenden. Da $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{m} \end{eqnarray}$ endlichdimensional ist, impliziert f(K) kompakt, dass f(K) auch abgeschlossen und beschränkt ist. Hier komme ich aber nicht weiter Wäre echt super, wenn mir jemand helfen kann.

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