Shiftoperator/ adjungierter Operator

27.10.2012, 13:34

KaterMikesch

Shiftoperator/ adjungierter Operator

Meine Frage:
Moin, ich betrachte den Links-Shiftoperator

$\begin{eqnarray*} T\colon \ell_p\to\ell_p, (s_1,s_2,...)\mapsto (s_2,s_3,...) \end{eqnarray*}$ und will dazu gerne den adjungierten Operator bestimmen.

Meine Ideen:
Also ich muss bestimmen

$\begin{eqnarray*} T'\colon \ell_p'\to\ell_p' \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} T'y'(x)=y'(Tx) \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \ell_p'\cong \ell_q \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} 1\leq p<\infty, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \end{eqnarray*}$ .

Also kann ich bestimmen:

$\begin{eqnarray*} T'\colon \ell_q\to\ell_q \end{eqnarray*}$ , wobei dieser isometrische Isomorphismus vermittelt wird durch $\begin{eqnarray*} S\colon\ell_q\to\ell_p', Sx(y)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}s_n t_n, x=(s_n)\in\ell_q, y=(t_n)\in\ell_p \end{eqnarray*}$

Dann gilt ja:

$\begin{eqnarray*} (S((s_n)))((t_n))=\sum\limits_{n=1}^{\infty}s_n t_n=y'((t_n)) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} (s_n)\in\ell_q, (t_n)\in\ell_p \end{eqnarray*}$ .

Also für $\begin{eqnarray*} x=(s_n)\in\ell_p, Tx\in\ell_p, (t_n)\in \ell_q \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y'(Tx)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}s_{n+1}t_n \end{eqnarray*}$ .

Woran erkennt man, dass das der Rechtshift ist? (Das habe ich nämlich gelesen, aber ich erkenne es nicht.)

27.10.2012, 17:34

Sly

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RE: Shiftoperator/ adjungierter Operator

Zitat:

Also für $\begin{eqnarray*} x=(s_n)\in\ell_p, Tx\in\ell_p, (t_n)\in \ell_q \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} y'(Tx)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}s_{n+1}t_n \end{eqnarray*}$ .

Woran erkennt man, dass das der Rechtshift ist? (Das habe ich nämlich gelesen, aber ich erkenne es nicht.)

Indem du mit dieser Gleichung jetzt etwas rumspielst Augenzwinkern

Wie du schon mehr oder weniger direkt angedeutet hast, muss das jetzt gleich $\begin{eqnarray*} T'(y')(x) \end{eqnarray*}$ sein, und wenn du das Funktional $\begin{eqnarray*} T'(y') \end{eqnarray*}$ erneut darstellst durch eine Folge $\begin{eqnarray*} (r_n)\in\ell_q \end{eqnarray*}$ , so folgt also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty s_{n+1} t_n = \sum_{n=1}^\infty s_n r_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (s_n)\in\ell_p \end{eqnarray*}$ .
(Auf alle Fälle musst du dir klarmachen, dass das so ist! Sauber aufschreiben später!)

Wie könnte man jetzt die Folge $\begin{eqnarray*} (r_n) \end{eqnarray*}$ bestimmen?

27.10.2012, 17:56

KaterMikesch

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RE: Shiftoperator/ adjungierter Operator
Ich weiß leider nicht, wie Du das meinst und wie ich die Folge bestimmen kann.

27.10.2012, 18:23

KaterMikesch

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Okay ich habe verstanden, wieso man

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}s_{n+1}t_n=\sum_{n=1}^{\infty}s_n r_n \end{eqnarray*}$

hat.

Aber wie ich jetzt $\begin{eqnarray*} (r_n) \end{eqnarray*}$ bestimmen kann, weiß ich leider nicht.

Kannst Du mir das bitte sagen?

27.10.2012, 18:57

Sly

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Setz doch mal konkrete Folgen für $\begin{eqnarray*} (s_n) \end{eqnarray*}$ in diese Gleichung ein. Zum Beispiel welche, die fast überall Null sind...ab hier solltest du aber selbst drauf kommen.

27.10.2012, 19:19

KaterMikesch

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Achso, ich glaube ich habs schon.

Also die Identität stimmt, wenn $\begin{eqnarray*} r=(r_n)=(0,t_1,t_2,t_3,...) \end{eqnarray*}$ .

Aber ist denn $\begin{eqnarray*} r=T'(y) \end{eqnarray*}$ ?

27.10.2012, 19:51

Sly

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Ja, so haben wir r ja gerade gewählt.

Falls jetzt noch Verwirrung besteht: In Ruhe hinsetzen und von Anfang bis Ende präzise aufschreiben. Was an Details noch nicht ganz gedanklich sitzt, versuche beim Aufschreiben Schritt für Schritt zu füllen.

27.10.2012, 19:54

KaterMikesch

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wo haben wir r so gewählt?

27.10.2012, 20:08

Sly

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Steht weiter oben! Bitte den ganzen Thread nochmal in Ruhe durchlesen, bevor solche Fragen kommen...

27.10.2012, 20:13

KaterMikesch

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wenn ich es doch aber nicht sehe?

habe mir das jetzt bestimmt 20 mal durchgelesen, aber ich sehe nicht, woher man weiß, dass T'(y)=r.

man hat halt zwei darstellungen für T'y'(x) vorliegen.

und die eine kommt mit der anderen hin, wenn r=(0,t_1,t_2,...).

wieso deswegen aber r=T'(y) sein soll: ich sehe es nicht

27.10.2012, 21:40

Sly

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RE: Shiftoperator/ adjungierter Operator

Zitat:

Original von Sly
[...] und wenn du das Funktional $\begin{eqnarray*} T'(y') \end{eqnarray*}$ erneut darstellst durch eine Folge $\begin{eqnarray*} (r_n)\in\ell_q \end{eqnarray*}$ , so folgt also [...]

...?

28.10.2012, 10:47

KaterMikesch

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RE: Shiftoperator/ adjungierter Operator
ich möchte dir wirklich nicht auf den zeiger gehen, aber ich sehe es leider immer noch nicht.

ich bitte dich, mir das vielleicht noch einmal zu erklären, auch, wenn es dir vielleicht unklar ist, wieso ich es noch nicht verstanden habe.

klar ist mir folgendes.

man hat zwei darstellungen:

einmal hat meinen isomorphismus Q für den gilt:

$\begin{eqnarray*} Q(x)(y)=y'(y)=\sum x_ny_n \end{eqnarray*}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray*} T'y'(x)=y'(Tx)=\sum x_{n+1}y_n \end{eqnarray*}$

dann hat man nochmal einen isomorphismus S und für den gilt, wenn man $\begin{eqnarray*} S(r)=T'y' \end{eqnarray*}$ bbenutzt

$\begin{eqnarray*} S(r)(x)=T'y'(x)=\sum x_n r_n \end{eqnarray*}$

So weit, so gut. also: $\begin{eqnarray*} \sum x_{n+1}y_n=\sum x_n r_n \end{eqnarray*}$ .

Aber mir will auf Teufel komm raus nicht klar werden, wie man jetzt sehen kann, dass $\begin{eqnarray*} T' \end{eqnarray*}$ eine Folge aus dem $\begin{eqnarray*} \ell_q \end{eqnarray*}$ hernimmt und sie nach rechts shifted.

Sorry! kannst du es nochmal versuchen zu erklären, bitte?

28.10.2012, 11:42

Sly

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Achso.

Zitat:

Achso, ich glaube ich habs schon.

Also die Identität stimmt, wenn $\begin{eqnarray*} r=(0,t_1,t_2,t_3,\dots) \end{eqnarray*}$ .

Ich dachte, das hättest du anhand der Gleichung schon bewiesen. Deshalb auch meine Verwirrung nach der Frage, warum damit r die gesuchte Folge sei.
Aber du hast offenbar geraten. Ist auch nicht schlimm, auf die Weise weiß man ja, wonach man suchen muss. Du solltest dir also die Frage stellen, warum nur die obige Folge für diese Identität infrage kommt.

Also man hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sum x_{n+1} y_n = \sum x_n r_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x_n)\in\ell_p \end{eqnarray*}$ .

Wir wollen zeigen, dass dann folgt $\begin{eqnarray*} r_n = \begin{cases} 0 &\quad, n=1 \\ y_{n-1} &\quad, n\geq 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Setz doch mal konkrete Folgen für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ in die Gleichung ein. Was sind denn ganz einfache Beispiele für p-summierbare Folgen?

28.10.2012, 11:46

KaterMikesch

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ich glaube du verstehst mich falsch

mir ist klar, dass die folge r so aussehen muss

aber mir ist nicht klar wie ich dann auf die form von T' schließen kann.

wie komme ich von r dann zu der abbildungsvorschrift von T'?

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