voll.Induk. produkt>summe

27.10.2012, 11:57	joschi90	Auf diesen Beitrag antworten »
voll.Induk. produkt>summe Meine Frage: Hallo, ich komme derzeit mit einem Beweis nicht weiter. Eventuell wurde dieser bereits im Forum diskutiert oder ist allgemein bekannt. Sollte dies der Fall sein bitte ich im Voraus um Entschuldigung! Die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ . Seien $\begin{eqnarray} x_{1} ,... ,x_{n} \end{eqnarray}$ positive reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \prod\limits_{j=1}^n (1+x_{j}) >1+\sum\limits_{j=1}^n x_{j} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe einen Ansatz mit Hilfe der vollständigen Induktion gewählt: Induktionsanfang für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \prod\limits_{j=1}^2 (1+x_{j})=23=6>1+\sum\limits_{j=1}^2 x_{j}=1+3=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ wahre Aussage Induktionsvoraussetzung für $\begin{eqnarray} n=m \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \prod\limits_{j=1}^m (1+x_{j}) >1+\sum\limits_{j=1}^m x_{j} \end{eqnarray}$ Induktionsbehauptung sei bis $\begin{eqnarray} m+1 \end{eqnarray}$ bewiesen: $\begin{eqnarray} \prod\limits_{j=1}^{m+1} (1+x_{j}) >1+\sum\limits_{j=1}^{m+1} x_{j} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \prod\limits_{j=1}^{m} (1+x_{j}) (m+2) >1+\sum\limits_{j=1}^{m} x_{j}+(m+1) \end{eqnarray*}$ An dieser Stelle ist mir nicht mehr klar was zu tun ist. Einsetzen der Induktionsvoraussetzung hilft meiner Meinung nach nichts. Vielleicht hat jemand den entscheidenen Hinweis? Für Hilfe wäre ich sehr dankbar! MfG
27.10.2012, 13:28	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies Dir am besten erst einmal diesen Thread durch, das Problem wurde im Forum schon mehrfach besprochen, ist aber über die Suchfunktion nicht ganz einfach zu finden.

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