Teilmenge des l^2 nicht abgeschlossen

27.10.2012, 15:20	American Jesus	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmenge des l^2 nicht abgeschlossen Gegeben sind die beiden Unterräume $\begin{eqnarray} {U=\{(x_n)}\in{l^2}\| \forall {n} \in \mathbb{N}: x_{2n}=0 \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {V=\{(x_n)}\in{l^2}\| \forall {n} \in \mathbb{N}: x_{2n-1}=nx_{2n} \} \end{eqnarray}$ . In der ersten Teilaufgabe hab ich bereits gezeigt, dass U und V abgeschlossen in $\begin{eqnarray} (l^2,\|\|.\|\|_2) \end{eqnarray}$ sind. Nun soll ich zeigen, dass die direkte Summe $\begin{eqnarray} U \oplus V \end{eqnarray}$ nicht abgeschlossen ist. Da als Tipp gegeben wurde, dass der Raum $\begin{eqnarray} l^0 \end{eqnarray}$ der Folgen, die nur für endlich viele n ungleich 0 sind, in U+V enthalten ist, gehe ich davon aus, dass man eine Folge von Folgen aus diesem Raum konstruieren soll, die dann "außerhalb" von U+V konvergiert. Ich habs jetzt mit der Folge $\begin{eqnarray} x_n=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},0,0,...) \end{eqnarray}$ versucht, die ja immerhin nicht in $\begin{eqnarray} l^0 \end{eqnarray}$ konvergiert. Allerdings liegt der Grenzwert $\begin{eqnarray} (1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...) \end{eqnarray}$ meiner Meinung nach schon in U+V. Ich hab mir auch mal die Struktur der Folgen in U+V angesehen, aber da scheint relativ viel möglich zu sein, sodass ich etwas unsicher bin, in welche Richtung ich am besten versuchen sollte... hat da jemand einen Vorschlag für mich?
27.10.2012, 17:10	American Jesus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss zugeben, dass es mir angesichts der Voraussetzungen (Konvergenz bzgl. 2-Norm und nur endlich viele Folgenglieder ungleich 0) schon schwer fällt, überhaupt Folgen von Folgen zu konstruieren, die nicht die gleiche "Bauart" und das prinzipiell gleiche wie die bereits angegebene Beispielfolge haben. Ist es überhaupt zielführend, nur solche Folgen zu betrachten?
28.10.2012, 13:39	American Jesus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat keiner ne Idee?
30.10.2012, 18:21	American Jesus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich pushe das mal...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »