Nenner rational machen

27.10.2012, 15:22

Java

Nenner rational machen

Meine Frage:
Hallo ich poste mal eine weitere Aufgabe wo ich probleme hab:

Machen sie die folgenden Brüche rational:

Hat jemand tipps wie ich den bruch erweitern könnte?

Meine Ideen:
keine

27.10.2012, 18:51

sulo

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RE: Rational
Schreibe die Wurzel als Potenz, dann hast du $\begin{eqnarray*} \frac{x}{(y^{n-3})^{\frac{1}{n}} } \end{eqnarray*}$

Jetzt einfach den Bruch so erweitern, dass die Potenz im Nenner 1 wird.

smile

27.10.2012, 20:23

Java

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Ist mein Ansatz so richtig?

27.10.2012, 23:09

sulo

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Hmm, hatte ich nicht gesagt, du sollst die Wurzel als Potenz schreiben? verwirrt

Ich empfehle dir, es auch zu tun.

Dann überlege, wie du von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ auf 1 kommst.

Für diese Veränderung darfst du nur etwas addieren, denn du weißt sicher: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. Augenzwinkern

28.10.2012, 09:53

Java

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Kann ich nicht einfach mit dem gleichen nenner erweitern?

28.10.2012, 10:41

sulo

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Das würde funktionieren, wenn du die zweite Wurzel hättest, denn 1/2 + 1/2 = 1. Augenzwinkern

Nun hast du die nte Wurzel und rechnest: 1/n + .... = 1

smile

28.10.2012, 21:42

Java

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Irgendwie kriege ich es nicht hin.

Kann mir jemand helfen?

28.10.2012, 21:45

sulo

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Naja, ich könnte es, aber du hast nicht einmal die Wurzel in eine Potenz umgewandelt, also kommen wir nicht weiter.

Wenn du eine Idee zur Lösung haben möchtest, dann setze doch einfach für ein eine Zahl ein, z.B. 5

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} + .... = 1 \end{eqnarray*}$

Was brauchst du, um 1 zu erhalten? Und wie kannst du diese Zahl mit n darstellen?

Wenn du das herausgefunden hast, weißt du, womit du den Bruch erweitern musst.

smile

28.10.2012, 21:53

java

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Als potenz wäre das so geschrieben:

Aber was mache ich jetzt genau?

28.10.2012, 22:29

sulo

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Ok, könnte man auch so machen.

Dann musst du halt herausfinden, was 1 ergibt, wenn du es zu (n-3)/n addierst.

smile

29.10.2012, 11:07

MrBlum

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Zitat:

Original von java
Als potenz wäre das so geschrieben:

Aber was mache ich jetzt genau?

Hi,

also Du weißt, wie die Wurzel als Potenz geschrieben wird. Gehen wir mal einen Schritt zurück und betrachten wir ein etwas einfacheres Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a} * \sqrt[3]{a^{2}} = \sqrt[3]{a^{1}*a^{2} }=\sqrt[3]{a^{3} } = a \end{eqnarray*}$

Leuchtet das ein? Allgemein bedeutet das:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a} * \sqrt[n]{a^{n-1}} = \sqrt[n]{a^{1+n-1} } =\sqrt[n]{a^{n}} = a \end{eqnarray*}$

Warum hoch n-1? Der Radikand muss den Exponenten n erhalten, im Beispiel hätte das so ausgesehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{a^{1}} * \sqrt[3]{a^{2}} = \sqrt[3]{a^{1+2} } =\sqrt[3]{a^{3} }= a \end{eqnarray*}$

Du kannst Dir aber auch einfach vorstellen, dass die n-te Wurzel schon einmal da steht, sie muss zusätzlich noch n-1 mal (mit demselben Inhalt) dastehen, um wegzufallen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[125]{was auch immer} \end{eqnarray*}$

Also muss noch 124 (n-1) mal der Ausdruck als Faktor zusätzlich so dastehen, um wurzelfrei zu sein. Wir schreiben diese lange Multiplikation als Potenz unter eine Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[125]{was auch immer^{125}} \end{eqnarray*}$

Das will auch Sulo Dir sagen:

$\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{n} }* a^{?}=a^{\frac{n}{n}}=a^{1}=a \end{eqnarray*}$

Wenn Du diese Frage für die Exponenten betrachtest, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} + x = \frac{n}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{n}{n} - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$

Probe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}+\frac{n-1}{n} = \frac{n}{n}=1 \end{eqnarray*}$

So sah das im einfachen Beispiel oben auch aus:

$\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{n}}* a^{\frac{n-1}{n}}= a^{\frac{1}{n}+\frac{n-1}{n}}=a^{\frac{1+n-1}{n}}=a^{\frac{n}{n}}=a^{1}=a \end{eqnarray*}$

Sulos Weg ist einfacher, weil Du den Exponenten des Radikanden ja vernachlässigen kannst. Du kannst aber dieselbe Nebenrechnung benutzen, in diesem Beispiel ist es ziemlich egal.

LG smile

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