Ismorphismus finden (allgemein &konkret)

27.10.2012, 16:24

lac

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Ismorphismus finden (allgemein &konkret)

Liebe Matheboard-User!

Ich habe folgendes Problem der LinAlg 1.

Ich soll zeigen ob ein Ismorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/5 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ohne der 0 und der Menge der Drehbewegungen um $\begin{eqnarray*} \frac{pi}{2} \end{eqnarray*}$ . (also mMn {0,1,2,3})

Jetzt habe ich für beide Gruppen Verknüpfungstafeln gemacht und versuche nun eine Abbildung zu finden, die bijektiv ist und die Bedingung des Homomorphismus erfüllt.

Ich habe es bereits mit f(x) = x-1 sowie mit f(x) = $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ - 1 (wobei $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ das inverse Element von x ist) versucht, jedoch lange ich immer bei einem Widerspruch.

Meine Frage:

Gehe ich das richtig an und ist sowas auch die "allgemeine Vorgehensweise" zum Finden eines Isomorphismus oder liege ich da völlig daneben.

Muss es immer eine f(x) = ... Abbildung sein oder reicht es auch, jedem Element etwas zuzuordnen (habe dazu bereits einen anderen Thread gelesen).

Da ich noch mehrere Beispiele in dieser Art und Weise lösen muss, bin ich auch für Hinweise zur "allgemeinen Lösungsart" dankbar.

Vielen Dank für eure Hilfe.

Edit: Das x^-1 ist irgendwie teifer gestellt. Mein zweiter Funktionsversuch heißt f(x) = (x^-1) -1.

27.10.2012, 16:29

Mystic

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RE: Ismorphismus finden (allgemein &konkret)
Drehbewegungen sind einfach Abbildungen

$\begin{eqnarray*} f_{\varphi}:\mathbb C \to \mathbb C \text{ mit } z \mapsto z\cdot \exp(i\varphi) \quad (\varphi \in [0,2\pi)) \end{eqnarray*}$

Vielleicht hier dies das schon weiter...

27.10.2012, 16:36

lac

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RE: Ismorphismus finden (allgemein &konkret)
Ah, danke.

Mir fällt grade auf, ich hab mich schlecht ausgedrückt:

Gemeint war die "Gruppe der Drehbewegungen".

Liege ich da falsch wenn ich denke, dass das die Menge {0,1,2,3} ist? Weil ich ja um diese Vielfachen aus pi/2 drehen kann, bevor ich wieder am Anfang bin.

27.10.2012, 16:42

Mystic

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RE: Ismorphismus finden (allgemein &konkret)

Zitat:

Original von lac
Liege ich da falsch wenn ich denke, dass das die Menge {0,1,2,3} ist? Weil ich ja um diese Vielfachen aus pi/2 drehen kann, bevor ich wieder am Anfang bin.

Ja, da liegst du falsch bzw. du verwechselst das mit $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ ... Die Gruppe der Drehbewegungen besteht aus $\begin{eqnarray*} \{f_0,f_{\pi/2},f_{\pi},f_{3\pi/2}\} \end{eqnarray*}$ in der oben eingeführten Notation...

27.10.2012, 16:44

lac

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Ah okay, gut zu wissen.

D.h. was ich jetzt mache, ist diese 4 Funktionswerte berechnen und dann schauen, ob ich eine vernünftige bijektive Abbildung finde?

27.10.2012, 17:22

Mystic

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Zitat:

Original von lac
D.h. was ich jetzt mache, ist diese 4 Funktionswerte berechnen und dann schauen, ob ich eine vernünftige bijektive Abbildung finde?

Hm, wo siehst du hier "Funktionswerte"? Die $\begin{eqnarray*} f_{k\pi/2} \end{eqnarray*}$ ,k=0,1,2,3, sind jedenfalls Funktionen mit der Komposition von Funktionen als Verknüpfung... Schreib mal die Operationstafel für sie hin und es wird dir ein Licht aufgehen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

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27.10.2012, 17:28

lac

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von lac
D.h. was ich jetzt mache, ist diese 4 Funktionswerte berechnen und dann schauen, ob ich eine vernünftige bijektive Abbildung finde?

Hm, wo siehst du hier "Funktionswerte"? Die $\begin{eqnarray*} f_{k\pi/2} \end{eqnarray*}$ ,k=0,1,2,3, sind jedenfalls Funktionen mit der Komposition von Funktionen als Verknüpfung... Schreib mal die Operationstafel für sie hin und es wird dir ein Licht aufgehen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hmm, habe ich wohl missverstanden. Ich schreibe mal die Tafel auf und sehe was passiert. Danke auf jeden Fall. smile

smile

27.10.2012, 17:47

Mystic

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Zitat:

Original von lac
Hmm, habe ich wohl missverstanden. Ich schreibe mal die Tafel auf und sehe was passiert.

Ja, mach das, verwende aber besser die kürzere Bezeichnung $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} f_{k\pi/2} \end{eqnarray*}$ , das ist auch sonst hilfreich... Und ja, für die andere Gruppe, solltest du versuchen einen Erzeuger zu finden...

27.10.2012, 17:49

lac

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So, die Tafel hätte ich mal gemacht.

Sehe ich das richtig, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} z \mapsto z\\ \end{eqnarray*}$ das neutrale Element dieser Drehbewegungsgruppe ist?

Dann könnte ich ja aufgrund der Regel $\begin{eqnarray*} f(eG) = eH \end{eqnarray*}$ (wobei eG, eH die neutralen Element, eG von den Restklassen, eH von den Drehbewegungen) folgern, dass gelten muss:

$\begin{eqnarray*} f(1) = z \mapsto z \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Hilft mir das weiter?

Edit: Falls da irgendwelche gröberen Denkfehler drinnen sind, bitte mir zu verzeihen, ich bin, was Mathe angeht heute schon etwas auf der langen Leitung.

27.10.2012, 18:12

Mystic

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Ja, die Abbildung $\begin{eqnarray*} z \mapsto z\\ \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ , ist natürlich das neutrale Element... Aber wie hast du denn z.B. die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} f_1 \circ f_2 \end{eqnarray*}$ gebildet?

27.10.2012, 18:17

lac

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Die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} f1 ° f2 \end{eqnarray*}$ (soll f1 nach f2 heißen) bildet auf -i*z ab, wenn ich das richtig verstehe.

Die Frage ist nur, wie verknüpfe ich meine beiden Tafeln.

28.10.2012, 07:45

Mystic

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Zitat:

Original von lac
Die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} f1 ° f2 \end{eqnarray*}$ (soll f1 nach f2 heißen) bildet auf -i*z ab, wenn ich das richtig verstehe.

Naja, es muss ja eine der Funktionen in $\begin{eqnarray*} \{f_0,f_1,f_2,f_3\} \end{eqnarray*}$ als Ergebnis der Verknüpfung dabei herauskommen... Und welche ist das hier? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von lac
Die Frage ist nur, wie verknüpfe ich meine beiden Tafeln.

Würdest du die beiden Tafeln erst einmal aufstellen, dann könnten wir diese Frage nach dem Isomorphismus - welche du offenbar meinst - auch leicht beantworten...

28.10.2012, 09:27

lac

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Herauskommen müsste für f1 ° f2 die Funktion z -> -iz.

Und die Tafeln habe ich schon aufgestellt, allerdings waren alle Ismorphismen, die ich bisher hatte, immer nur von einer Restklasse in die andere, sprich von "Zahlen auf Zahlen".

Bzgl. des neutralen Elements aus der Restklasse von 5 kann ich einmal sagen, dass der "Funktionswert" von 1 die Funktion z->z ist.

Die Frage ist, wie finde ich am besten heraus, was zu einem der anderen Werte gehört? Sobald ich eine weitere Zuordnung habe, kann ich die anderen bereits finden, aber die zweite Zuordnung bereitet mir Probleme.

Danke.

28.10.2012, 09:39

Mystic

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Zitat:

Original von lac
Herauskommen müsste für f1 ° f2 die Funktion z -> -iz.

Das ist zwar richtig, aber leider noch immer nicht die Antwort auf meine Frage, welche der 4 Funktionen $\begin{eqnarray*} f_0,f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray*}$ das nun ist?

Und ohne Operationstafeln gibt es keine Zuordnung. Du kannst auch meinetwegen mit der anderen Operationstafel anfangen, indem du zeigst, dass 2 mod 5 ein Erzeuger ist...

28.10.2012, 09:46

lac

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Naja, es ist die Funktion f3, oder?

28.10.2012, 10:23

lac

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Okay, ich habe mich jetzt noch ein bisschen herumgespielt und habe einen Lösungsansatz:

Aufgrund der Gleichheit von $\begin{eqnarray*} f(e_G) = e_H \end{eqnarray*}$ weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} f(1) = f_0 \end{eqnarray*}$ .

Dann nehme ich an, dass $\begin{eqnarray*} f(2) = f_1 \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} f(4) = f(2*2) = f(2) \circ f(2) = f_1 \circ f_1 = f_2 \end{eqnarray*}$

Und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} f(3) = f(4*2) = f(4) \circ f(2) = f_2 \circ f_1 = f_3 \end{eqnarray*}$

Das wäre eine bijektive Abbildung, durch die Kriterien des Homomorphismus gefunden.

Meine Frage ist nur: Da ich $\begin{eqnarray*} f(2) = f1 \end{eqnarray*}$ ja quasi "geraten" habe, wie stelle ich sowas sicher fest, v.a. wenn etwas mehrere Elemente hat?

28.10.2012, 13:56

Mystic

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Zitat:

Original von lac
Meine Frage ist nur: Da ich $\begin{eqnarray*} f(2) = f1 \end{eqnarray*}$ ja quasi "geraten" habe, wie stelle ich sowas sicher fest, v.a. wenn etwas mehrere Elemente hat?

Wenn zwei Gruppen G und H beide zyklisch sind, d.h., G=<g> und H=<h>, und die gleiche Anzahl von Elementen haben, dann ist

$\begin{eqnarray*} f: G \to H \text{ mit } g^j \mapsto h^j \quad (j \in \mathbb Z) \end{eqnarray*}$

stets ein Isomorphismus...

28.10.2012, 14:33

lac

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Danke vielmals für deine Infos und deine Hilfe.

Das mit "zyklisch" muss ich mir noch durchdenken, das wurde irgendwie noch nicht behandelt bei uns.

Heißt das aber jetzt generell, dass meine Lösung stimmt?

28.10.2012, 15:16

Mystic

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Zitat:

Original von lac
Heißt das aber jetzt generell, dass meine Lösung stimmt?

Die Abbildungsvorschrift für den Isomorphismus stimmt, ja... Die Homomorphieeigenschaft wäre nach obigem noch nicht schlüssig beweisen, aber das kannst du ja ganz allgemein für zwei zyklische Gruppen der Ordnung 4 (müssen jetzt nicht unsere sein!) nochmal überdenken...

28.10.2012, 15:20

lac

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Vielen herzlichen Dank für deine Hilfe, das hat mir sehr geholfen!

Allgemein denke ich mir das noch durch. smile

smile

28.10.2012, 20:42

Mystic

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Gern geschehen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

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