Kart. Produkt - Relationen

27.10.2012, 18:35

Frankstorm

Kart. Produkt - Relationen

Huhu,

habe da ein paar Aufgabenteile, mit denen ich nicht klar komme:

Aufgabe 1)

Sei A = {5,6} und B = {6,7,8}.

Ist dann die Menge {5,6} $\begin{eqnarray*} \subseteq A\times B \end{eqnarray*}$ ?

=> Antwort: Ja, denn im kartesischen Produkt AxB ist das Element aus 1,2 vorhanden.

Aufgabe 2)

Beweisen Sie, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} (A\times B)\cap (A\times C) = A\times (B\cap C) \end{eqnarray*}$

Meine Idee(n):

$\begin{eqnarray*} (A\times B)\cap (A\times C) = {x; [(x,y); x \in A \wedge y\in B]\wedge [(x,z); x \in A \wedge z\in C)} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht, ob ich das Distributivgesetz anwenden kann, um schließlich schon zur zu beweisenden rechten Seite der Gleichung gelangen. Dann wäre die umgekehrte Implikation ja auch schon bewiesen.

Aufgabe 3)

Wie viele Relationen gibt es von D = {1,2,3} und E {f,g}?

Idee:

Eine Relation ist eine Teilmenge von DxE. Gesucht sind also alle Teilmengen des kartesischen Produkts=> Anzal der Elemente der Potenzmenge von DxE.

Nun ergibt sich die Anzahl der Elemente einer Potenzmenge aus 2^(Elemente von DxE).

Nur welche Formel nutze ich nun für die Berechnung der Elemente aus DxE? Oder muss ich diese einfach ausrechnen? (das wären dann insgesamt 2^6 = 64)

Danke!

27.10.2012, 18:58

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kart. Produkt - Relationen

Zitat:

Original von Frankstorm
Aufgabe 1)

Sei A = $\begin{eqnarray*} \{5,6\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = \{6,7,8\} \end{eqnarray*}$ .

Ist dann die Menge $\begin{eqnarray*} \{5,6\} \subseteq A\times B \end{eqnarray*}$ ?

=> Antwort: Ja, denn im kartesischen Produkt AxB ist das Element aus 1,2 vorhanden.

Nein. Es ist $\begin{eqnarray*} \left\{5,6\right\}\neq\left(5,6\right) \end{eqnarray*}$ . Gefragt ist hier außerdem nach einer Teilmenge, nicht nach einem Element, und $\begin{eqnarray*} 5\not\in A\times B \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Frankstorm
Aufgabe 2)

Beweisen Sie, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} (A\times B)\cap (A\times C) = A\times (B\cap C) \end{eqnarray*}$

Meine Idee(n):

$\begin{eqnarray*} (A\times B)\cap (A\times C) = {x; [(x,y); x \in A \wedge y\in B]\wedge [(x,z); x \in A \wedge z\in C)} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht, ob ich das Distributivgesetz anwenden kann, um schließlich schon zur zu beweisenden rechten Seite der Gleichung gelangen. Dann wäre die umgekehrte Implikation ja auch schon bewiesen.

Irgendwie ist deine Notation so falsch, und zumindest mir unverständlich.

Also:
$\begin{eqnarray*} \left(x,y\right)\in\left(A\times B\right)\cap (A\times C)\Leftrightarrow\left(x,y\right)\in\left(A\times B\right)\wedge\left(x,y\right)\in(A\times C) \end{eqnarray*}$
Nun kannst du umformen. Und ja, Distributivität anwenden.

Zitat:

Original von Frankstorm
Aufgabe 3)

Wie viele Relationen gibt es von D = {1,2,3} und E {f,g}?

Idee:

Eine Relation ist eine Teilmenge von DxE. Gesucht sind also alle Teilmengen des kartesischen Produkts=> Anzal der Elemente der Potenzmenge von DxE.

Nun ergibt sich die Anzahl der Elemente einer Potenzmenge aus 2^(Elemente von DxE).

Nur welche Formel nutze ich nun für die Berechnung der Elemente aus DxE? Oder muss ich diese einfach ausrechnen? (das wären dann insgesamt 2^6 = 64)

Ja, die Anzahl Elemente im kartesischen Produkt ist 6, und damit stimmt auch das Endergebnis.

27.10.2012, 21:08

Frankstorm

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kart. Produkt - Relationen
$\begin{eqnarray*} \left(x,y\right)\in\left(A\times B\right)\cap (A\times C)\Leftrightarrow\left(x,y\right)\in\left(A\times B\right)\wedge\left(x,y\right)\in(A\times C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x,y) \in (A \times ( B \wedge C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A \times (B \cap C) \end{eqnarray*}$

Damit müsste es dann wohl fertig sein, nicht?

Das mit der Schreibweise von mir. Wir haben das kartesische Produkt definiert als:

$\begin{eqnarray*} A \times B := {( x,y ) x \in A \wedge y \in B} \end{eqnarray*}$
Daher kommt das von mir.

27.10.2012, 23:14

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kart. Produkt - Relationen

Zitat:

Original von Frankstorm
$\begin{eqnarray*} \left(x,y\right)\in\left(A\times B\right)\cap (A\times C)\Leftrightarrow\left(x,y\right)\in\left(A\times B\right)\wedge\left(x,y\right)\in(A\times C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x,y) \in (A \times ( B \wedge C) \end{eqnarray*}$

Ab da wirds falsch. Was ist $\begin{eqnarray*} B\wedge C \end{eqnarray*}$ ?
Den Schritt der Diskributivität solltest du da schon einbauen.

Zitat:

Original von Frankstorm
Das mit der Schreibweise von mir. Wir haben das kartesische Produkt definiert als:

$\begin{eqnarray*} A \times B := \{( x,y ) x \in A \wedge y \in B\} \end{eqnarray*}$
Daher kommt das von mir.

Ja, aber das hatte mit deinem Variablenchaos nicht mehr so viel zu tun

28.10.2012, 18:44

Frankstorm

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kart. Produkt - Relationen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(x,y\right)\in\left(A\times B\right)\cap (A\times C)\Leftrightarrow\left(x,y\right)\in\left(A\times B\right)\wedge\left(x,y\right)\in(A\times C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x,y) \in (A \times ( B \wedge C) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ab da wirds falsch. Was ist $\begin{eqnarray*} B\wedge C \end{eqnarray*}$ ?
Den Schritt der Diskributivität solltest du da schon einbauen.

Oh, schon wieder Fehler..

Die Distributivität ist doch eingebaut, indem ich "A" nur noch einmal auftreten lasse. (So zumindest mein Gedanke)

$\begin{eqnarray*} B \wedge C \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{x;x\in B \wedge x\in C\} \end{eqnarray*}$ ?

lg

28.10.2012, 18:57

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kart. Produkt - Relationen
Ja, dann schreibe es nochmal hin.

Zitat:

Original von Frankstorm

$\begin{eqnarray*} B \wedge C \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{x;x\in B \wedge x\in C\} \end{eqnarray*}$ ?

Ne, das wäre
$\begin{eqnarray*} B \cap C= \left\{x;x\in B \wedge x\in C\right\} \end{eqnarray*}$ ?

28.10.2012, 19:15

Frankstorm

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kart. Produkt - Relationen

Zitat:

Original von Frankstorm

$\begin{eqnarray*} B \wedge C \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{x;x\in B \wedge x\in C\} \end{eqnarray*}$ ?

Ne, das wäre
$\begin{eqnarray*} B \cap C= \left\{x;x\in B \wedge x\in C\right\} \end{eqnarray*}$ ?[/quote]

Dann ist $\begin{eqnarray*} B \wedge C \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \{x; x\in B \cap x\in C)\} \end{eqnarray*}$ ?

Ich möchte ungern nur raten, daher sag ich wieso ich das nun so benenne: $\begin{eqnarray*} B \wedge C \end{eqnarray*}$ bedeutet ja, dass sowohl Menge B als auch Menge C zutreffen. Und das ist dann für all jene Elemente x der Fall, die in der Schnittmenge der beiden Mengen liegen.

In Bezug auf die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (x,y) \in A \times (B \wedge C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow (x,y) \in A \times (x\in B \cap x\in C) \end{eqnarray*}$

28.10.2012, 19:25

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kart. Produkt - Relationen

Zitat:

Original von Frankstorm
Dann ist $\begin{eqnarray*} B \wedge C \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \{x; x\in B \cap x\in C)\} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, immer noch nicht.
Das, was du meinst, ist
$\begin{eqnarray*} B \cap C= \left\{x;x\in B \wedge x\in C\right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Frankstorm
Ich möchte ungern nur raten, daher sag ich wieso ich das nun so benenne: $\begin{eqnarray*} B \wedge C \end{eqnarray*}$ bedeutet ja, dass sowohl Menge B als auch Menge C zutreffen.

Eine Menge kann nicht "zutreffen" bzw "nicht zutreffen". Eine Menge ist schließlich keine Aussage.

Zitat:

Original von Frankstorm
In Bezug auf die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} (x,y) \in A \times (B \wedge C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (B \wedge C) \end{eqnarray*}$ ist ja immer noch falsch.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \leftrightarrow (x,y) \in A \times (x\in B \cap x\in C) \end{eqnarray*}$

Auch der Ausdruck $\begin{eqnarray*} x\in B \cap x\in C \end{eqnarray*}$ ist so falsch, an dieser Stelle müsste $\begin{eqnarray*} x\in B \wedge x\in C \end{eqnarray*}$ stehen. Und selbst da ist das Kreuzprodukt so nicht definiert.

Bitte erkläre mir, so ausführlich du es kannst, den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$

28.10.2012, 19:40

Frankstorm

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für deine sehr großzügige und geduldige Hilfe.

Okay, los geht's:

$\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$

Diese Und-Verknüpfung (Konjunktion) habe ich kennengelernt, als es um Aussagen ging.
Hierbei besagt diese Verknüpfung, stehend zwischen zwei Aussagen A und B, dass sowohl A als auch B zutreffen, insofern A und B Aussagen sind.

D.h. beides gilt zur gleichen Zeit

$\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$

Diesen Operator habe ich über die Mengenlehre kennengelernt;
Dabei hieß/heißt es, dass wenn A und B zwei Mengen sind, $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ all jene Elemente angibt, die zugleich in A und B vorkommen. D.h. es handelt sich um all jene Elemente, die in A vorkommen und auch in B vorkommen aber mit der Eigenschaft, ein Element aus beiden Mengen zu sein.

28.10.2012, 20:49

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Frankstorm

$\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$

Diese Und-Verknüpfung (Konjunktion) habe ich kennengelernt, als es um Aussagen ging.
Hierbei besagt diese Verknüpfung, stehend zwischen zwei Aussagen A und B, dass sowohl A als auch B zutreffen, insofern A und B Aussagen sind.

D.h. beides gilt zur gleichen Zeit

Richtig. Diese Verknüpfung ist also nur für Aussagen, aber nicht für Mengen definiert.

Zitat:

Original von Frankstorm
$\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$

Diesen Operator habe ich über die Mengenlehre kennengelernt;
Dabei hieß/heißt es, dass wenn A und B zwei Mengen sind, $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ all jene Elemente angibt, die zugleich in A und B vorkommen. D.h. es handelt sich um all jene Elemente, die in A vorkommen und auch in B vorkommen aber mit der Eigenschaft, ein Element aus beiden Mengen zu sein.

Jap. Diese Verknüpfung ist also nur für Mengen und nicht für Aussagen definiert.

Achte bei deinen Ausführungen also darauf, zwischen beidem zu unterscheiden.

Neue Frage »

Antworten »

Kart. Produkt - Relationen

Verwandte Themen