Körper der komplexen Zahlen Beweis

27.10.2012, 18:45

Sasu132

Körper der komplexen Zahlen Beweis

Meine Frage:
Hallo,

jetzt sind mal wieder die Matheprofis unter euch gefragt Augenzwinkern

Ich habe zu der Aufgabe schon eine konkrete Lösung und wüsste nur gerne, ob diese richtig ist und ob ich in meinem Beweis etwas vergessen habe oder ob alles vollständig ist.

Vielen Dank schonmal im voraus!

Hier die Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray*} C = \mathbb R x \mathbb R \end{eqnarray*}$ aller geordneten Paare (a,b) reeller Zahlen bezüglich folgener Operationen "+ C" und "* C" einen Körper bildet:

(a,b) + (c,d) =(df) (a+c,b+d) und
(a,b) * (c,d) =(df) (ac-bd,ad + bc).

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass ich zuerst beweisen müsste, dass die Menge C (komplexe Zahlen) einen Körper bildet, d.h. alle Axiome der Addition bzw. Multiplikation müssen erfüllt sein. Also Das Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, das neutrale Element und das Inverse.

Reicht das? Oder muss ich noch mehr beweisen, z.B. dass R x R = C?

Meine konkreten Lösungen werde ich gleich nachträglich eintippen smile

27.10.2012, 21:22

thechus

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Hey,

das Vektorprodukt musst du nicht beweisen, da sie auf die Multiplikation aufbaut.

Um einen Körper zu beweisen, musst du nur die Körperaxiome durchgehen.

Somit reicht es, das zu beweisen, was du aufgelistet hast.
Ja, soweit ich weiß, sind das alle. Wobei ich sogar glaube, dass es reicht das neutrale Element zu beweisen und das inverse ausgelassen werden kann. Bin mir da aber nicht sicher(!)

Lass das lieber von einer Zweitperson überprüfen.

Gruß,
thechus

27.10.2012, 22:02

Sasu132

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soo hier kommen meine bisherigen Lösungen (muss vlt noch ein wenig ausformuliert werden smile

)

Die Abbildung R --> R x R mit a --> (a,0) ist injektiv. Wegen (a,0) + (b,0) = (a + b,0) und a(a,0) * (b,0) = (a * b,0) können R und R x {0} $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ C identifiziert werden, d.h. der Körper R kann als "Unterkörper" von C betrachtet werden.

Zu beweisen ist, dass die Menge C einen Körper bildet.

Sei die Menge C ein Körper, so müssen alle Körperaxiome bewiesen werden können.

Axiome der Addition
Kommutativgesetz: Es gilt z1 + z2 = (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) =(c,d) + (a,b) = z2 + z1

Assoziativgesetz: Es gilt (z1 + z2) + z3 = [(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (a + c,b + d) + (e,f) = (a + c + e,b + d + f) = (a,b) + (c + e,d + f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)]

Das neutrale Element bezüglich der Addition ist die komplexe Zahl (0,0). Beweisen lässt sich das durch (a,b): (a,b) + (0,0) = (a + 0,b + 0) = (a,b)

Das additiv Inverse einer komplexen Zahl (a,b) ist (-a,-b). Beweis: (a,b) + (-a.-b) = (0,0)

Axiome der Multiplikation
Kommutativgesetz: Es gilt z1 * z2 = (a,b) * (c,d) = (ac - bd, ad + bc) = (ca - db,da + cb) = (c,d) * (a,b) = z2 * z1

Assoziativgesetz: Es gilt [(a,b) * c,d)] * (e,f) = (ac - bd,ad + bc) * (e,f) = [(ad - bd) * e - (ad + bc) * f,(ac - bd) * f + (ad + bc) * e] = (ace - bde - adf - bcf,acf - bdf + ade + bce) = [a (ce - df) - b (de + cf),a (de + cf) + b (ce - df)] = (a,b) * (ce - df,cf + de) = (a,b) * [(c,d) * (e,f)]

Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist die komplexe Zahl (1,0). Für jede komplexe Zahl gilt (a,b) * (1,0) = (a * 1 + b * 0,a * 0 + b * 1) = (a,b)

Das multiplikativ Inverse einer komplexen Zahl ist $\begin{eqnarray*} \frac{a}{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{-b}{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$
Es gilt: (a,b) * $\begin{eqnarray*} \frac{a}{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{-b}{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{a*a}{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$ - b * $\begin{eqnarray*} \frac{-b}{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$ ,a * $\begin{eqnarray*} \frac{-b}{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$ + b * $\begin{eqnarray*} \frac{a}{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{-ab + ab}{a^{2} + b^{2} } \end{eqnarray*}$ = (1,0)

Somit ist bewiesen, dass die Menge C einen Körper bildet.

Kann ich das so stehn lassen??? oder fehlt was?

27.10.2012, 22:03

Sasu132

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passt das so zur Aufgabenstellung oder muss ich da noch irgendwas begründen???

ach ja das Distributivgesetz fehlt noch smile

27.10.2012, 22:29

thechus

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Hey,

das kann meines Erachtens so stehen bleiben.
Beim Beweis des Invesen Elements der Addition würd eich den Zwischenschritt (a-a,b-b) noch machen.

Zum Multiplikativ Invesen Element kann ich nichts sagen. Die Rechnung ist aber Plausibel.

Ja, das Distributivgesetz fehlt noch.

Gruß,
thechus

27.10.2012, 23:04

Sasu132

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beantwortet das denn die Frage in der Aufgabenstellung?

welchen Zwischenschritt beim Inversen meinst du? smile

schreib ihn doch bitte mal rein

27.10.2012, 23:21

thechus

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Hey,

ich meinte folgendes:

Das additiv Inverse einer komplexen Zahl (a,b) ist (-a,-b). Beweis: (a,b) + (-a.-b) = (a-a,b-b) = (0,0)

Und ja, das beantwortet die Aufgabe.
Du musst ja beweisen:

$\begin{eqnarray*} (K, +) \end{eqnarray*}$ ist eine abelsche Gruppe (Neutrales Element 0)

$\begin{eqnarray*} (K / \left\{0\right\} , \cdot) \end{eqnarray*}$ ist eine abelsche Gruppe (Neutrales Element 1)

Und das Distributivgesetz.

Außerdem habe ich nachgeguckt und das inverse MUSS natürlich auch mit rein.

Wenn du also das Distributivgesetz auch richtig bewiesen hast, hast du gezeigt, dass die Menge C einen Körper bildet. Du hast ja alle oben genannten Eigenschaften an ihr bewiesen.

Des weiteren stimmt auch deine Rechnung für das Inverse Element. Du bist wohl durch. Ich würde das vielleicht noch einmal von jemand anderes nachprüfen lassen (hier rim Forum), da ich nicht gerade ewige Erfahrung habe mit meinem Alter.

Sonst gut gemacht.

Gruß,
thechus

27.10.2012, 23:32

Sasu132

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danke

kennst du noch jemanden der vlt nochmal drüberschauen könnte?

27.10.2012, 23:38

Che Netzer

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Zitat:

Original von thechus
Ich würde das vielleicht noch einmal von jemand anderes nachprüfen lassen (hier rim Forum), da ich nicht gerade ewige Erfahrung habe mit meinem Alter.

Ich bin zwar noch ein paar Monate jünger, aber das, was hier steht, ist inhaltlich alles richtig. (nur das mit der Assoziativität der Multiplikation habe ich nicht genau nachgerechnet Augenzwinkern

)Ich würde nur an ein paar Formulierungen rummeckern, z.B. "Sei die Menge C ein Körper, so müssen alle Körperaxiome bewiesen werden können." (Du kannst diese Menge nicht einfach als Körper definieren) oder die Klammersetzung bei den Inversen.
Und wieso redest du andauernd von komplexen Zahlen? Das sind geordnete Paare reeller Zahlen, wie die Aufgabenstellungen es schon sagt. Die kann man zwar mit den komplexen Zahlen identifizieren, es sind aber keine.

Insbesondere weiß ich aber nicht, was folgender Absatz aussagen soll:

Zitat:

Die Abbildung R --> R x R mit a --> (a,0) ist injektiv. Wegen (a,0) + (b,0) = (a + b,0) und a(a,0) * (b,0) = (a * b,0) können R und R x {0} $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ C identifiziert werden, d.h. der Körper R kann als "Unterkörper" von C betrachtet werden.

Zitat:

Oder muss ich noch mehr beweisen, z.B. dass R x R = C?

Nein, so wurde $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ definiert.

27.10.2012, 23:42

thechus

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Zitat:

Original von Che Netzer

Ich bin zwar noch ein paar Monate jünger

Haha

Das erübrigt meine Argumentation mit dem Alter Big Laugh

Ich sollte eher sagen, dass ich selbst noch nicht so viel Erfahrung habe Augenzwinkern

Vielen Dank fürs Nachprüfen.

Gruß,
thechus

28.10.2012, 13:15

Sasu132

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C steht im Aufgabentext für komplexe Zahlen, habe das Symbol nur nicht im Formeleditor gefunden Big Laugh

28.10.2012, 13:16

Che Netzer

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D.h. es wurde die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ definiert? Trotzdem war nie von komplexen Zahlen die Rede...

28.10.2012, 16:40

Sasu132

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also in den vorlesungen haben wir das noch nicht besprochen...ist das denn dann falsch meine lösung???

28.10.2012, 16:43

Che Netzer

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Nein, ich sagte ja, dass nur die Formulierungen ungünstig sind. Du kannst aber nicht irgendetwas als komplexe Zahlen bezeichnen, nur weil es so aussieht.

28.10.2012, 19:32

Sasu132

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ok dann schreibe ich das anders smile

danke

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Körper der komplexen Zahlen Beweis

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