Summenformeln

28.10.2012, 08:33	Queisser	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformeln Guten Morgen! Meine Frage dreht sich um folgende beiden kleinen Teile; ich muss diese "geschickt" brechnen, und zwar ohne Hilfe von anderen Hilfsmitteln wie Mathematica. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{3^k-1}{5^k} \end{eqnarray}$ für n=15. und (das Produkt von k=1 bis 9) $\begin{eqnarray} (\frac{k+1}{k})^k \end{eqnarray}$ (ich fand leider das Produktzeichen nicht ) Beim Ersteren vermutete ich das ich den eventuell in 2 Teile ziehen kann und und so zum Beispiel $\begin{eqnarray} \frac{3^k}{5^k} \end{eqnarray}$ zu einer Formel zusammen fassen kann.. nur finde ich dazu leider auch nichts nützliches.. Wenn wer leicht-verständliche Tipps hat ( da ich gerade am Anfang des Studiums bin und die Schule doch ein paar Jahre zurück liegt) wäre ich sehr dankbar !
28.10.2012, 09:09	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Tex-Hilfe bei wikipedia \prod -> $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^9\left(\frac{k+1}{k}\right)^k \end{eqnarray}$ Gruß Peter
28.10.2012, 09:12	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
überleg dir mal eine Lösung für das Produkt ohne die Potenz. Die Lösung mit Potenz folgt dann sofort, da man die Potenz außerhalb des Produktes schreiben kann. Gruß Peter
28.10.2012, 11:35	Queisser	Auf diesen Beitrag antworten »
hab jetz ein Stück rumprobiert allerdings weiß ich nicht ganz genau wie ich vorgehen soll, soll ich im sinne von $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^9 (1+\frac{1}{k} )^k \end{eqnarray}$ vorgehen? Hab diverses mit dem Taschenrechner durchprobiert nur leider komme ich auf ncihts sinnvolles
28.10.2012, 11:43	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
lass doch einfach mal die Potenz weg und rechne dann weiter. Gruß Peter
28.10.2012, 11:59	Queisser	Auf diesen Beitrag antworten »
ja freilich kann ich sie weglassen, aber ich hab kein plan "was" ich da rechnen soll, klar kann ich alles hintereinander hinschreiben, aber das is ja dann ncih sinn der aufgabe
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28.10.2012, 13:08	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
schau mal, ob sich im Zähler und Nenner etwas gegenseitig aufhebt. Gruß Peter
28.10.2012, 16:46	Queisser	Auf diesen Beitrag antworten »
I dont get it. Es tut mir leid, ich weiß leider nicht auf was Sie hinaus möchten Das einzge was sich aufhebt is eben $\begin{eqnarray} \frac{k}{k}=1 \end{eqnarray}$ so wie ich es in einem vorherigen post hingeschrieben habe, was kann ich da noch vereinfachen?
28.10.2012, 17:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Queisser Sofort kann man die Potenz auch nicht aus dem Produkt herausheben, da der Exponent $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ja nicht konstant, sondern offenbar abhängig vom Produktindex $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ist. Dennoch ist einiges an Vereinfachung drin, indem man diese Potenz auch wieder als Produkt schreibt (diesmal mit identischen Faktoren), und anschließend die Produktreihenfolge vertauscht: $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n \left( \frac{k+1}{k} \right)^k = \prod_{k=1}^n \prod_{j=1}^k \left( \frac{k+1}{k} \right) = \prod_{j=1}^n \prod_{k=j}^n \left( \frac{k+1}{k} \right) = \prod_{j=1}^n \frac{n+1}{j} = \frac{(n+1)^n}{n!} \end{eqnarray}$
28.10.2012, 21:47	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@Queisser sorry für die Irritationen, ich hab da etwas zu schnell geschossen. Ich hatte übersehen, dass die Faktoren die Variable k als Potenz haben und nicht n. Gruß Peter

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