Zeigen, dass Vektoren in einem Untervektorraum enthalten sind

28.10.2012, 10:06

Taffi89

Zeigen, dass Vektoren in einem Untervektorraum enthalten sind

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich schlage mich seit ein paar Tagen folgender Aufgabe herum:

"Gegeben seien die Vektoren u = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , v = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , w = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und x = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass u, v, w und x in einem Untervektorraum U $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R 4 \end{eqnarray*}$ , U $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R 4 \end{eqnarray*}$ , enthalten sind.

Meine Ideen:
In der Lösung wird folgendermaßen vorgegangen: Die vier Vektoren werden in eine Matrix A geschrieben, anschließend wird Ax = 0 berechnet, so lange umgeformt, bis sich herausstellt, dass eine Nullzeile entsteht, dann wird nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aufgelöst, dann schreibt man die Vektoren als Linearkombination des Nullvektors (- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * u - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * v + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * w + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * x = 0) und stellt fest, dass man etwa für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 1 x als Kombination von u, v und w schreiben kann. Demnach sind bereits die ersten drei Vektoren linear unabhängig und der vierte wird nicht gebraucht, es handle sich also um einen echten Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R 4 \end{eqnarray*}$ .

Ich bin mir nicht ganz sicher, warum der Lösungsweg so zustande kommt. Meine Vermutung: Die Fragestellung zielt nicht, wie von mir ursprünglich angenommen, darauf ab, dass man zeigen soll, dass die Vektoren einen Unterraum bilden, sondern darauf, dass man schauen soll, ob sie einen ECHTEN Unterraum bilden oder aber ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R 4 \end{eqnarray*}$ . Deswegen überprüft man im ersten Schritt die lineare Unabhängigkeit der vier Vektoren, stellt fest, dass sie linear abhängig sind und schmeißt deswegen den "überflüssigen" Vektor x raus, woraufhin die übrigen drei Vekoren einen ECHTEN Unterraum bilden, da dim(Unterraum) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ dim ( $\begin{eqnarray*} \mathbb R 4 \end{eqnarray*}$ ).
Habe ich das so richtig verstanden oder wird in der Lösung eigentlich was ganz anderes gemacht? ^^

28.10.2012, 10:20

lgrizu

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RE: Zeigen, dass Vektoren in einem Untervektorraum enthalten sind
Das ist stellenweise wirklich schwer leserlich....

Die vier Vektoren spannen einen Vektorraum auf, dieser ist Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ .

Die Frage ist also im Prinzip, dass du die zeigen sollst, dass die Dimension von $\begin{eqnarray*} dim ( span \left\{ \vec{u} , \vec{v} , \vec{w} , \vec{x} \right\} ) < 4 \end{eqnarray*}$ .

Dass du in der Linearkombination stets lmbda verwendest ist mehr als verwirrend, die Skalare können auch unterschiedich sein.

Also

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot \vec{u} + \lambda_2 \cdot v + \lambda_3 \cdot \vec{w}+ \lambda_4 \cdot \vec{x}= \vec{0} \end{eqnarray*}$ sollte die Linearkombination sein.

Dieses LGS kann man nun lösen, existiert eine nichttriviale Lösung, so sind die Vektoren linear abhängig und es handelt sich um einen echten Unterraum

28.10.2012, 16:53

Taffi89

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Oh Mann, das ist mir jetzt echt peinlich...wie kann man nur so auf dem Schlauch stehen?! Jedenfalls trotzdem vielen Dank fürs Augen öffnen Augenzwinkern

Und nur zur Sicherheit: Wenn alle vier Vektoren linear unabhängig wären, wären sie kein echter Unterraum, weil sie dann eine Basis des gesamten R4 darstellen würden, oder?

28.10.2012, 18:06

lgrizu

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Zitat:

Original von Taffi89
Und nur zur Sicherheit: Wenn alle vier Vektoren linear unabhängig wären, wären sie kein echter Unterraum, weil sie dann eine Basis des gesamten R4 darstellen würden, oder?

Jap....

28.10.2012, 19:15

Taffi89

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Super, dankeschön Freude

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