Differenzialgleichung 1. Ordnung lösen

28.10.2012, 11:45

Sascha1979

Differenzialgleichung 1. Ordnung lösen

Wie löse ich diese Differenzialgleichung 1. Ordnung?

$\begin{eqnarray*} x*y^{'}=y+x\sqrt{x^{2}+y^{2} } \end{eqnarray*}$

Ist der Term nach dem Gleichheitszeichen als Störglied zu betrachten und ich löse dann erstmal nur den homogenen Teil der Gleichung?

$\begin{eqnarray*} x*y^{'}=0 \end{eqnarray*}$

oder wie fange ich an???

29.10.2012, 14:33

HAL 9000

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Versuch's mal mit Substitution $\begin{eqnarray*} z = \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ , d.h. mit dann $\begin{eqnarray*} y=zx,y'=z'x+z \end{eqnarray*}$ .

29.10.2012, 15:15

Sascha1979

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Okay, Dann bringe ich also erstmal das x auf die andere Seite:

$\begin{eqnarray*} y^{'}=\frac{y}{x}+\frac{x}{x}\sqrt{x^{2}+y^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{'}=\frac{y}{x}+ 1 \sqrt{x^{2}+y^{2} } \end{eqnarray*}$

dann aus $\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

wie jetzt weiter? Was mache ich mit der Wurzel?

$\begin{eqnarray*} y^{'}=z+1\sqrt{x^{2}+y^{2} } \end{eqnarray*}$

29.10.2012, 15:17

HAL 9000

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Ich wiederhole:

Versuch's mal mit Substitution $\begin{eqnarray*} z = \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ , d.h. mit dann $\begin{eqnarray*} y=zx,y'=z'x+z \end{eqnarray*}$ .

(Bis jetzt hast du nichts dergleichen getan.)

Jedes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und auch jedes $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ hat nach erfolgter Substitution zu verschwinden, dabei habe ich dir als Hilfestellung schon $\begin{eqnarray*} y'=z'x+z \end{eqnarray*}$ fertig ausgerechnet vor die Nase gesetzt, brauchst es nur einsetzen.

29.10.2012, 15:24

Sascha1979

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Hm, dann so?

$\begin{eqnarray*} z^{'}*x+z=z+1\sqrt{x^{2}+(z*x)^{2} } \end{eqnarray*}$

29.10.2012, 15:25

HAL 9000

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Ja, und das lässt sich jetzt erheblich vereinfachen.

29.10.2012, 15:37

Sascha1979

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$\begin{eqnarray*} z^{'}x+z=z+1\sqrt{x^{2}+(z*x)^{2} } |-z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{'}x=\sqrt{x^{2}+(z*x)^{2} }|:x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{'}=\frac{\sqrt{x^{2}+(z*x)^{2} }}{x} \end{eqnarray*}$

So?

29.10.2012, 15:59

HAL 9000

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Ja. Die weiteren Vereinfachungen hängen nun noch vom Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab... jedenfalls ist zunächst noch

$\begin{eqnarray*} z' = \frac{|x|}{x}\sqrt{1+z^2} \end{eqnarray*}$

29.10.2012, 16:05

Sascha1979

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Wie du das jetzt vereinfacht hast, verstehe ich nicht!

29.10.2012, 16:22

HAL 9000

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Termumformungen sind wohl nicht deine Stärke... dann mal ausführlichst:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+(z\cdot x)^2} = \sqrt{x^2+z^2x^2} = \sqrt{x^2(1+z^2)} = \sqrt{x^2}\cdot \sqrt{1+z^2} = |x|\sqrt{1+z^2} \end{eqnarray*}$

29.10.2012, 16:24

Sascha1979

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Ach so okay. Wie mache ich denn jetzt weiter?

29.10.2012, 16:26

HAL 9000

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Na das ist jetzt eine DGL mit trennbaren Variablen - davon hast du doch schon gehört?

29.10.2012, 16:47

Sascha1979

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$\begin{eqnarray*} z^{'}=\frac{x}{x}\sqrt{1+z^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}=\frac{x^{\frac{1}{2} }+zx^{\frac{1}{2} } }{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{z}=\frac{x^{\frac{1}{2} } +x^{\frac{1}{2} } }{x} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{z}=\frac{2x^{\frac{1}{2} } }{x} dx \end{eqnarray*}$

soweit erstmal richtig?

29.10.2012, 16:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sascha1979
$\begin{eqnarray*} z^{'}=\frac{x}{x}\sqrt{1+z^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}=\frac{x^{\frac{1}{2} }+zx^{\frac{1}{2} } }{x} \end{eqnarray*}$

Mir wird immer schlecht, wenn einer (im Hochschulforum!!!) $\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ rechnet. unglücklich

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