Verschoben! Abstand von Punkten zu einer Ebene

28.10.2012, 13:49	Quastor	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand von Punkten zu einer Ebene Hi, es geht um folgende Aufgabe "Bestimmen Sie alle Punkte der x3-Achse, die von der Ebene E: $\begin{eqnarray} 4x_1-x_2+8x_3=7 \end{eqnarray}$ den Abstand 9 haben" Meine Idee: Muss man hier den normalen Vektor verwenden? Für die Lotgerade um dann die Koordinaten des Lotfußpunktes zu berechnen?
28.10.2012, 14:27	Quastor	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ich bisher gerechnet habe: $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 4t \\ -1t \\ 8t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ darais ergibt sich nun: $\begin{eqnarray} x_1=4t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=z+8t \end{eqnarray}$ das nun einsetzen: $\begin{eqnarray} 16t+t+8z+64t=7 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=\frac{7}{81}-\frac{8}{81}z \end{eqnarray}$ ist das bisher soweit richtig?
28.10.2012, 20:11	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist soweit richtig und Du kannst nun den Lotfußpunkt bestimmen. Das wird allerdings ein ekliges Herumgerechne. Ein Ansatz mit der Hesse'schen Normalenform ist wesentlich einfacher.
28.10.2012, 21:17	Quastor	Auf diesen Beitrag antworten »
Das das ein ekliges Herumgerechne wird, hab ich schon gemerkt und ich verrechne mich anscheinend auch immer wieder. Die Hesse'sche Normalenform hatten wir bisher noch nicht. $\begin{eqnarray} t=\frac{7-8z}{81} \end{eqnarray}$ einsetzen: dadurch erhalte ich F ( $\begin{eqnarray} \frac{28-40z}{81} \|-\frac{7+8z}{81} \|\frac{56+17z}{81} \end{eqnarray}$ ) somit muss ich dann : $\begin{eqnarray} 9=\sqrt{(\frac{28-40z}{81})^2+(-\frac{7+8z}{81})^2+(\frac{56+17z}{81}-x)^2} \end{eqnarray}$ welches ich zu $\begin{eqnarray} 81^3=(28-40z)^2+(7+8z)^2+(56-64z)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 81^3=28^2-2240z+40^2z^2+49+112z+64z^2+56^2-7168z+64^2z^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=5760z^2-9296z-527472 \end{eqnarray}$ umgeformt habe. Daraus ergibt sich dann x_1=10,41 und x_2=-8,8. Wenn ich dann eine Probe mache, kommt keine 9 dabei heraus.
28.10.2012, 21:42	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} F\left(\frac{28-{\color{red}32}z}{81} \|\frac{{\color{red}-}7+8z}{81} \|\frac{56+17z}{81}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4\cdot 8=32 \end{eqnarray}$ Bei der anderen Koordinate habe ich einen Vorzeichenfehler beseitigt. Wenn Du das Minus vor den Bruch ziehen würdest, müsstest Du auch das Vorzeichen vor den 8z ändern. Ich hoffe, daß ich nichts übersehen haben. Edit: Latex editiert
28.10.2012, 21:57	Quastor	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, hatte ich wohl nen dicken Brainlag. $\begin{eqnarray} 81^3=28^2-1792z+32^2z^2+64z^2-112z+49+56^2-7168z+64^2z^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=5184z^2-9027z-527472 \end{eqnarray}$ damit erhalte x_1=11 und x_2=-9,25. Probe ergibt, dass der betrag jeweils 9 ergibt. Somit ist die Aufgabe erledigt. Dankeschön.
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28.10.2012, 22:11	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis stimmt, im Rechenweg hast Du einen kleinen Schreibzahlendreher: -9072z sollten es sein.

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