Maß	Neue Frage »

28.10.2012, 14:26

Emilia12

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Maß

Meine Frage:
Frage siehe hier: [attach]26385[/attach]

Meine Ideen:
Die Eigenschaften eines Maßes sind:
(1) "My"({}) = 0
(2) "My"( $\begin{eqnarray*} \bigcup _{i\in \mathbb N }Ai) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ "My" $\begin{eqnarray*} (A_{i}) \end{eqnarray*}$

(1) ist erfüllt
(2) nicht, denn sei $\begin{eqnarray*} A_{i} \end{eqnarray*}$ = {i}, dann ist "My"( $\begin{eqnarray*} \bigcup _{i\in \mathbb N }Ai)= \infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ "My" $\begin{eqnarray*} (A_{i}) \end{eqnarray*}$ = 0

Zu zeigen Sie, dass "My" endlich additiv ist:

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ überabzählbar endlich ist, dann kann es auch nur endlich viele disjunkte Mengen A_1,...,A_k element "Skript A" geben.

28.10.2012, 14:31

Che Netzer

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RE: Maß
Hallo,

das meiste stimmt, ist höchstens etwas knapp erklärt.
Das hier allerdings ergibt keinen Sinn:

Zitat:

Original von Emilia12
Da $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ überabzählbar endlich ist, dann kann es auch nur endlich viele disjunkte Mengen A_1,...,A_k element "Skript A" geben.

Nimm dir lieber endlich viele disjunkte Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ und führe eine Fallunterscheidung durch.

mfg,
Ché Netzer

28.10.2012, 15:12

Emilia12

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RE: Maß
Die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist ja die Menge aller Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Egal welche Teilmenge ich mir jetzt rausgreife. Sie ist endlich...
Ich glaub mein Problem ist das wieder sauber mathematisch aufzuschreiben...

28.10.2012, 15:32

Che Netzer

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RE: Maß
Es gibt durchaus auch unendliche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , z.B. die Menge aller gerader Zahlen.

Was meinst du denn mit "überabzählbar endlich"?

28.10.2012, 15:51

Emilia12

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RE: Maß
Ich weiss grad selber nicht wie ich auf "überabzählbar endlich" komme..
Ich wollte eigentlich schreiben: abzählbar unendlich....

28.10.2012, 15:52

Che Netzer

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RE: Maß
Ah, das klingt schon besser Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber trotzdem kann es unendlich viele unendliche disjunkte Teilmengen geben.

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28.10.2012, 16:00

Emilia12

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RE: Maß
Ist nicht schon mit dem ersten Teil gezeigt, das "My" endlich additiv ist? Die Summe ist ja "Null".?????

28.10.2012, 16:09

Che Netzer

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RE: Maß
Welcher erste Teil denn? Du hast doch nur die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Additivität der Abbildung widerlegt.

28.10.2012, 16:20

Emilia12

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RE: Maß
Ich glaub ich blick grad selber nicht mehr durch verwirrt

verwirrt

28.10.2012, 16:24

Emilia12

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RE: Maß
Also, der erste Teil passt soweit?

28.10.2012, 16:42

Che Netzer

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RE: Maß
Ja, wenn du begründen kannst, wieso $\begin{eqnarray*} \mu(\{\})=0 \end{eqnarray*}$ ist und ggf. das Gegenbeispiel erläuterst.

Jetzt musst du dir eine endliche Folge disjunkter Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ansehen.

28.10.2012, 17:29

Emilia12

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RE: Maß
z.B. die Folge aller ungeraden Zahlen?
$\begin{eqnarray*} (a_{i})_{i\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} a_{i}=2i+1 \end{eqnarray*}$

28.10.2012, 17:31

Che Netzer

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RE: Maß
Inwiefern soll das eine Folge disjunkter Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein?
Außerdem sollst du die Additivität für allgemeine Mengenfolgen zeigen.

28.10.2012, 17:33

Emilia12

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RE: Maß
Ach ne..... die ist ja auch unendlich....

28.10.2012, 17:34

Emilia12

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RE: Maß
Danke für deine Mühe, aber ich glaube das ist grad sinnlos mit mir.... unglücklich

unglücklich

28.10.2012, 18:03

Emilia12

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RE: Maß
So ein letzter Versuch, da ich hier irgendwie das "My" nicht in den Formeleditor eingeben kann, schreibe ich jetzt für das Maß "My":= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$

Man soll ja zeigen,dass

$\begin{eqnarray*} \lambda(\bigcup _{i=1}^K A_{i}) = \sum\limits_{i=1}^K \lambda (A_{i}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda(\bigcup _{i=1}^K A_{i}) = \lambda\left\{ A_{1},A_{2},...,A_{K} \right\} =\lambda (A_{1})+\lambda (A_{2} )+...+ \lambda (A_{K} ) =\sum\limits_{i=1}^K \lambda (A_{i}) \end{eqnarray*}$
Für endlich viele disjunkte Mengen $\begin{eqnarray*} A_{1},A_{2} ,...,A_{K} \in \end{eqnarray*}$ "A Skript"

28.10.2012, 18:05

Che Netzer

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RE: Maß
Ja, genau das sollst du zeigen, wobei ich nicht ganz weiß, was $\begin{eqnarray*} \{A_1,A_2,\dotsc,A_K\} \end{eqnarray*}$ soll (das wäre eine Menge von Mengen).

Das "My" erhältst du mit \mu.

Um das zu zeigen, kannst du wie gesagt eine Fallunterscheidung vornehmen.

28.10.2012, 18:07

Emilia12

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RE: Maß
Könntest du auf die Fallunterscheidung vielleicht mal genauer eingehen?

28.10.2012, 18:09

Che Netzer

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RE: Maß
Ich möchte ja nicht zu viel verraten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber in der Definition von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ wurde ja auch schon eine Fallunterscheidung vorgenommen. Das musst du natürlich berücksichtigen. Welche Maßzahlen können diese endlich vielen disjunkten Mengen haben?

28.10.2012, 18:12

Emilia12

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RE: Maß
Das ist ja nett, das du nicht zu viel verraten möchtest. Ich möchte auch keine Musterlösung.
Aber wenn mir das hier alles so schlüssig und klar wäre, würde ich hier nicht fragen...
Ich kann mir beim besten Willen aber nicht vorstellen worauf du hinaus möchtest.

28.10.2012, 18:15

Che Netzer

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RE: Maß
Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \mu(A_i) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\in\{1,\dotsc,K\} \end{eqnarray*}$ kann genau zwei Werte annehmen.
Welche sind dies und hat einer von ihnen Auswirkungen auf den Wert von $\begin{eqnarray*} \mu\left(\bigcup_{i=1}^KA_i\right) \end{eqnarray*}$ ?
Welche Werte nimmt dieser Term also unter welchen Bedingungen an die $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ an?

28.10.2012, 18:20

Emilia12

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RE: Maß
$\begin{eqnarray*} \mu(A_i) \end{eqnarray*}$ ist entweder 0, falls $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ endlich oder $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ unendlich viele Elemente enthält

$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ hätte eine Auswirkung da ja $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nicht mehr endlich additiv sein kann

28.10.2012, 18:24

Che Netzer

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RE: Maß
Die erste Zeile stimmt.
Für $\begin{eqnarray*} \mu(A_i)=\infty \end{eqnarray*}$ kannst du aber eine andere Schlussfolgerung für $\begin{eqnarray*} \mu\left(\bigcup A_i\right) \end{eqnarray*}$ ziehen.

28.10.2012, 18:28

Emilia12

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RE: Maß
Die erste Zeile ist ja auch in der Angabe definiert.

Die Schlussfolgerung die ich hätte wäre, dass die Vereinugn dann auch unedlich wäre, aber dann würde die doch nicht in die Aufgabe schreiben, das ich zeigen soll, das es endlich additiv ist.

28.10.2012, 18:33

Che Netzer

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RE: Maß
Ja, wenn $\begin{eqnarray*} \mu(A_i)=\infty \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} \mu\left(\bigcup A_i\right)=\infty \end{eqnarray*}$ . Kannst du auch begründen, wieso?

Und wieso sollte das ein Widerspruch zur endlichen Additivität sein? Das hat ja nichts damit zu tun, ob das Maß endlich ist, sondern nur damit, ob die Abbildung additiv für endlich viele Mengen ist.

28.10.2012, 18:37

Emilia12

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RE: Maß
Wenn ich eine endliche Menge mit einer unedlichen Menge vereinige ist diese vereinigte Menge unendlich.

Ich glaub ich habe die Ausage endlich additiv nicht verstanden.

28.10.2012, 18:39

Che Netzer

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RE: Maß
Ja, das ist die Begründung.
Wenn ein $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ unendlich ist, dann ist es auch die Vereinigung über alle davon.

Die Eigenschaft hast du doch schonmal aufgeschrieben: Für disjunkte Mengen $\begin{eqnarray*} A_1,\dotsc,A_K\in\mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \mu\left(\bigcup_{i=1}^KA_i\right)=\sum_{i=1}^K\mu(A_i)\,. \end{eqnarray*}$
Das ist endliche Additivität.

28.10.2012, 18:41

Emilia12

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RE: Maß
Und dass das immer gilt sollte ich ja zeigen....
Könntest du mir bitte behilflich sein, wie ich das am geschicktestens aufschreibe ?

28.10.2012, 18:45

Che Netzer

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RE: Maß
Den ersten Fall hast du schon:
Wenn eines der $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ unendlich ist, ...
Für diesen Fall gilt also die Gleichung. Jetzt betrachte den anderen.

28.10.2012, 18:47

Emilia12

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RE: Maß
$\begin{eqnarray*} \lambda(\bigcup _{i=1}^K A_{i}) = \lambda\left\{ A_{1},A_{2},...,A_{K} \right\} =\lambda (A_{1})+\lambda (A_{2} )+...+ \lambda (A_{K} ) =\sum\limits_{i=1}^K \lambda (A_{i}) \end{eqnarray*}$
Und das benötige ich nicht?

Sei eines der $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ endlich, so ist auch die Vereinigung über alle davon endlich.

28.10.2012, 18:49

Che Netzer

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RE: Maß

Zitat:

Original von Emilia12
$\begin{eqnarray*} \lambda(\bigcup _{i=1}^K A_{i}) = \lambda\left\{ A_{1},A_{2},...,A_{K} \right\} =\lambda (A_{1})+\lambda (A_{2} )+...+ \lambda (A_{K} ) =\sum\limits_{i=1}^K \lambda (A_{i}) \end{eqnarray*}$
Und das benötige ich nicht?

Was soll das denn sein?
Bis auf den zweiten Ausdruck (was soll das sein?) ist das ja genau das, was du zeigen sollst.

Zitat:

Sei eines der $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ endlich, so ist auch die Vereinigung über alle davon endlich.

Das muss nicht stimmen, ist aber zum Glück auch nicht die Umkehrung der Aussage, dass ein $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ unendlich ist.

28.10.2012, 18:53

Emilia12

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RE: Maß
Was ist denn dann mein zweiter Fall?
Wenn $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ =0, dann ist ja $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ endlich.

28.10.2012, 18:55

Che Netzer

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RE: Maß
Was ist denn das Gegenteil von "Mindestens ein $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ist unendlich"?

Und was soll $\begin{eqnarray*} A_i=0 \end{eqnarray*}$ heißen? Wie kann eine Menge Null sein?

28.10.2012, 19:03

Emilia12

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RE: Maß
Maximal eins ist unedlich....

28.10.2012, 19:04

Emilia12

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RE: Maß
Das sollte $\begin{eqnarray*} \mu(A_i) \end{eqnarray*}$ = 0 heißen..

28.10.2012, 19:05

Che Netzer

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RE: Maß

Zitat:

Original von Emilia12
Maximal eins ist unedlich....

Nein, das auch nicht. Es kann ja sowohl mindestens als auch maximal eines unendlich sein.

28.10.2012, 19:08

Emilia12

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RE: Maß
Gut, dann bleibt nur noch "keines ist unendlich" d.h. alle sind endlich...

28.10.2012, 19:11

Che Netzer

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RE: Maß
Genau. Und wieso gilt für diesen Fall die Gleichung?

28.10.2012, 19:13

Emilia12

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RE: Maß
Für diesen Fall gilt die Gleichung, da die Vereinung von endlichen Mengen wieder endlich ist...

28.10.2012, 19:16

Che Netzer

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RE: Maß
Stimmt.
Jetzt musst du das nur noch alles zusammenbringen und sauber aufschreiben.

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