Matrizenrechnung

28.10.2012, 15:46

Gast11022013

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Matrizenrechnung

Meine Frage:
Hi,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Gegen ist die Matrix A durch

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & a \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Welche Beziehung besteht zwischen a,b und c wenn gilt: $\begin{eqnarray*} A\cdot A^T =E \end{eqnarray*}$

Geben Sie ein Beispiel für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} A^T=\begin{pmatrix} a & c \\ b & a \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun multipliziere ich die beiden Matrizen mit dem Falkschema und es soll die Einheitsmatrix

$\begin{eqnarray*} E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Herauskommen.

So komme ich auf folgendes Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2=1<br /> <br /> ac+ab=0<br /> <br /> ac+ab=0<br /> <br /> c^2+a^2=1 \end{eqnarray*}$

Aus der 2ten bzw. 3ten Gleichung folgt:

$\begin{eqnarray*} a(b+c)=0<br /> <br /> a=0 \vee b=-c \end{eqnarray*}$

Wenn ich a=0 nun in die 1. Gleichung einsetze würde ich

$\begin{eqnarray*} b^2=1<br /> <br /> b_{1,2}=\pm 1 \end{eqnarray*}$

erhalten.
Für c natürlich analog.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wären das die einzigen Matrizen für die das gilt?
Denn in einer weitern Aufgabe soll ich zeigen, dass es auch für

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \sqrt{0.5} & \sqrt{0.5} \\ -\sqrt{0.5} & \sqrt{0.5}\\ \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

gilt, was es offensichtlich tut.
Ist das ein Zufall, oder erfasst meine Rechnung nicht alle Möglichkeiten bzw. ist sie sogar falsch?

Danke im Voraus.

Mfg

28.10.2012, 16:00

DP1996

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a=0\vee b=-c \end{eqnarray*}$

das ist ein "oder".

28.10.2012, 16:03

Gast11022013

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Ja ich hatte auch schon gedacht, dass sich dann die Varianten ausschließen. Also Entweder ist a=0 oder b=-c und dann gilt es. Aber wie ist a zu wählen wenn b=-c gilt, oder wie meinst du das?

28.10.2012, 16:08

DP1996

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Das ist kein "entweder... oder", und die Varianten schließen sich keineswegs aus, wie $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zeigt. (Das Aussagenlogische "oder" sagt lediglich, dass mindestens eins von beidem zutreffen muss).

Dein Fehler oben lag darin, dass du angenommen hast, a müsse 0 sein, und das ist eben nicht der Fall.

e: sorry, grad gesehen, dass ich dort ein minus in der Matrix vergessen hab. Jetzt erfüllt sie wirklich beide Einschränkungen.

28.10.2012, 16:13

Gast11022013

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Wie würde es den sonst gehen?

Wie decke ich alle Möglichkeiten ab?

Wenn ich einfach wilde Zahlen einsetze und nur z.B. b=-c gelten lasse und für a irgendwas einsetze dann erhalte ich nicht die Einheitsmatrix wenn ich multipliziere.

28.10.2012, 16:20

DP1996

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Du musst noch die erste bzw. 4. Gleichung mit einbauen.

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28.10.2012, 16:24

Gast11022013

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Irgendwie sehe ich gerade nicht wie ich das tuen sollte?
Damit käme ich doch nicht zu einem abweichendem Ergebnis.
verwirrt

verwirrt

28.10.2012, 16:33

DP1996

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Es reicht eben noch nicht ganz, nur für b=-c oder a=0 zu sorgen - damit erfüllst du ja nur eine von 3 verschiedenen (hinreichenden und notwendigen) Gleichungen. du musst auch noch dafür sorgen, dass die anderen beiden Gleichungen auch noch erfüllt sind.

Zitat:

Wenn ich einfach wilde Zahlen einsetze und nur z.B. b=-c gelten lasse und für a irgendwas einsetze dann erhalte ich nicht die Einheitsmatrix wenn ich multipliziere.

sondern eine Diagonalmatrix mit Einträgen ungleich 1, richtig? und das liegt eben daran, dass dann Gleichung 1 und 4 nicht erfüllt sind.

Zitat:

Irgendwie sehe ich gerade nicht wie ich das tuen sollte?

Setze b=-c und schaue, was du dann über a aussagen kannst.

Du hast oben ja a=0 gesetzt, den Fall deckst du aber mit b=1 bzw. b=-1 ebenso ab. (wie mir grad bewusst wird).

28.10.2012, 16:42

Gast11022013

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Ok. Das ist verständlich, dass bei irgendwelchen Zahlen ungleich 1 oder -1 die Gleichungen nicht erfüllt sind.

Wenn ich b=-c setze, dann fallen meine Gleichungen doch komplett weg. Da kann ich keine Aussage mehr über a treffen.

Das läuft also auf eine Art Fallunterscheidung hinaus, wobei es mehrere Fälle gibt wie

1. a=0, b=-c und b=1 oder -1

....

Das das Gleichungssystem für $\begin{eqnarray*} \sqrt{0.5} \end{eqnarray*}$ gilt ist ja auch irgendwie klar. Jedenfalls muss b=-c immer gelten würde ich mal sagen.
Doch wie berechne ich die weiteren Lösungen. Irgendwie komme ich da nicht drauf.

28.10.2012, 16:46

DP1996

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Zitat:

Wenn ich b=-c setze, dann fallen meine Gleichungen doch komplett weg

Nein. dann werden die Gleichungen 1 und 4 zu $\begin{eqnarray*} a^2=1-b^2=1-c^2 \end{eqnarray*}$ - und das ist auch eine Aussage über a.

und b=-c muss auch nicht immer gelten, denn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erfüllt auch alles.

28.10.2012, 17:02

Gast11022013

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Wenn ich

$\begin{eqnarray*} a^2=1-c^2 \end{eqnarray*}$

in die vierte Gleichung einsetze erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} c^2+(1-c^2)=1<br /> <br /> 0=0<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Das meinte ich mit das die Gleichungen wegfallen. Ich sehe nicht wie mich das Umformen nach a hier weiter bringt. Konkrete Werte die von der 1 oder -1 abweichen erhalte ich so jedenfalls nicht.

Das bringt mich doch auch nicht weiter. Oder geht es in dem Fall gar nicht darum weiter zu rechnen?

28.10.2012, 17:07

DP1996

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Du sollst lediglich eine Beziehung herleiten:

Zitat:

Welche Beziehung besteht zwischen a,b und c wenn gilt:

28.10.2012, 17:13

Gast11022013

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Es ging mir eigentlich darum mir die Lösung $\begin{eqnarray*} \sqrt{0.5} \end{eqnarray*}$ für a herzuleiten. Oder andere Lösungen die von den oben genannten abweichen. Dies scheint nicht möglich zu sein, oder?

28.10.2012, 17:15

DP1996

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doch. kennst du den "trigonometrischen Pythagoras"?

28.10.2012, 17:16

Gast11022013

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Ich hab davon schon gehört, jedoch nie selbst angewandt oder ähnliches.

Würde mich trotzdem interessieren.
smile

smile

28.10.2012, 17:20

DP1996

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Der trigonometrische Pythagoras besagt, dass $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ ist.
Wenn du nun a=sin(x) setzt, dann erhälst du, da sin(x) in dem Intervall [-1,1] jeden Wert annimmt, für jedes denkbare a aus diesem Intervall ein zugehöriges b

28.10.2012, 17:25

Gast11022013

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Ok, dass ist auch einigermaßen klar.

Ich gebe mich jedoch mit meinen 4 Lösungen zufrieden die ich auch berechnen konnte.

Vielen Dank für deine Hilfe. Freude

Freude

smile

28.10.2012, 17:27

DP1996

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gerne geschehen.

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