Reguläre Gruppenoperation

28.10.2012, 16:09

Telperion

Reguläre Gruppenoperation

Hallo zusammen,
folgende Aufgabe:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} M,N \end{eqnarray*}$ Mengen, auf denen die Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ operiert, $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$
Vor.: Für jede Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , auf der $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ operiert und jedes $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ existiert genau eine G-äquivariante Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: M\to N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(m)=n \end{eqnarray*}$ . Diese ist gegen durch
$\begin{eqnarray*} gm \mapsto gn \end{eqnarray*}$

Beh.: Dann operiert G regulär auf M

Wir wollen nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Stab_G(m):=\{g\in G | gm=m\}=\{1_G\} \end{eqnarray*}$ gilt. Leider haben wir gar keinen Ansatz, deswegen wäre ich über einen kleinen Anstoß sehr dankbar.

Liebe Grüße und schonmal danke fürs Lesen,
Dominik

29.10.2012, 10:44

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reguläre Gruppenoperation
Hallo Telperion,

Hier fehlen noch Voraussetzungen.
Man kann sonst nämlich eine 1-elementige Menge N wählen; die Voraussetzung ist dann immer wahr – egal wie G auf M operiert.

Für die Sache mit dem Stabilisator reicht es, dass G treu auf N ist.
Für die Transitivität finde ich aber gerade keine hinreichende Voraussetzung. verwirrt

Zitat:

Diese ist gege[be?]n durch
$\begin{eqnarray*} gm \mapsto gn \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht.

Gruß
Reksilat

29.10.2012, 20:17

Telperion

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reguläre Gruppenoperation
Hallo Reksilat,

zunächst einmal danke für deine Antwort. Freude

Ich habe die Aufgabenstellung Wort für Wort abgetippt, mehr weiß ich auch nicht. Das Einzige, was ich weggelassen habe, ist die Definition von G-Äquivarianz.

Zu

Zitat:

Hier fehlen noch Voraussetzungen. Man kann sonst nämlich eine 1-elementige Menge N wählen; die Voraussetzung ist dann immer wahr – egal wie G auf M operiert.

Wieso kann ich die Menge 1-elementig wählen? Ich soll doch zeige, dass die Aussage für jede Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gilt, oder verstehe ich da etwas ganz falsch?

Zu

Zitat:

Zitat: Diese ist gege[be?]n durch $\begin{eqnarray*} gm \mapsto gn \end{eqnarray*}$
Das verstehe ich nicht.

Das steht auch so auf dem Übungsblatt, ich denke, dass Folgendes gemeint ist:
Sei $\begin{eqnarray*} \varphi: M\to N \end{eqnarray*}$ G-quivariant, $\begin{eqnarray*} m\in M, n\in N,g\in G \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \varphi(m)=n \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \varphi(gm)=g\varphi(m)=gn \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \varphi: M\to N, gm\mapsto gn \end{eqnarray*}$
So verstehe ich das zu Mindest.

Gruß,
Dominik

29.10.2012, 21:49

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist m.E. sehr unglücklich gestellt, denn
$\begin{eqnarray*} M \to N , ~ gm \mapsto gn \end{eqnarray*}$
ist überhaupt nur dann eine sinnvolle Definition für die fragliche Abbildung, wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ schon transitiv auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ operiert, das soll hier wohl angenommen werden.

29.10.2012, 21:59

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reguläre Gruppenoperation

Zitat:

Wieso kann ich die Menge 1-elementig wählen? Ich soll doch zeige, dass die Aussage für jede Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gilt, oder verstehe ich da etwas ganz falsch?

Richtig, die Aussabe muss für beliebige Mengen N gelten. Insbesondere also auch für 1-elementige Mengen.
Für |N|=1 existiert bei beliebigem M überhaupt nur eine Abbildung von M nach N und diese ist dann auch immer G-äquivariant.
Lässt man nun G nicht-regulär auf M operieren, hat man ein Gegenbeispiel.

Letztlich kann man mit |N|>1 auch die Transitivität auf M folgern. Allerdings finde ich es nicht sehr sinnvoll, sich zu unvollständigen Aufgabenstellungen noch passende Voraussetzungen suchen zu müssen.

Gruß
Reksilat

29.10.2012, 22:08

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reguläre Gruppenoperation

Zitat:

Original von Reksilat

Zitat:

Wieso kann ich die Menge 1-elementig wählen? Ich soll doch zeige, dass die Aussage für jede Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gilt, oder verstehe ich da etwas ganz falsch?

Es ist doch Voraussetzung, dass ich für jede Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , auf der $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ operiert, so eine eindeutige Abbildung finde. Das kann also nur dann ein Gegenbeispiel sein, wenn ich auch bei nichtregulärer Operation zu jeder Menge eine solche eindeutige Abbildung finde.
Ich sehe, wie gesagt, eher das Problem bei der "Definition" $\begin{eqnarray*} gm\mapsto gn \end{eqnarray*}$ , die nur dann sinnvoll sein kann, wenn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ transitiv auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist, damit ich überhaupt jedes Element des Urbildbereichs als $\begin{eqnarray*} gm \end{eqnarray*}$ schreiben kann....

29.10.2012, 23:30

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reguläre Gruppenoperation
Ah, jetzt verstehe ich. Hammer

Ich hatte den ersten Satz der Aufgabenstellung ("Seien N, M Mengen...") so gelesen, dass M und N fest gewählt sind. Anscheinend ist N also beliebig.
Dann ist die gesamte Aussage aber irgendwie uninteressant. Wie soll man so was denn anwenden? verwirrt

Das mit dem $\begin{eqnarray*} gm\mapsto gn \end{eqnarray*}$ sehe ich ähnlich wie Telperion. Es ist wahrscheinlich nur eine verunglückte Bemerkung dazu, dass aus $\begin{eqnarray*} \varphi(m)=n \end{eqnarray*}$ schon $\begin{eqnarray*} \varphi(gm)=gn \end{eqnarray*}$ folgt.
Es sorgt eben einfach für völliges Durcheinander, wenn die Variablen nicht vernünftig quantifiziert werden. unglücklich

Letztlich denke ich, dass die Aussage auch für ein festes N, mit |N|> 1, auf dem G treu operiert richtig ist.

Gruß
Reksilat

02.11.2012, 19:56

Telperion

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reguläre Gruppenoperation
Also, wir haben leider noch keine Musterlösung bekommen, ich kann aber schonmal eine Sache sagen:
Man sollte zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} \varphi(m)=n \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} gm\mapsto gn \end{eqnarray*}$ gilt. Der Assistent hat aber auch zugegeben, dass dieser Teil unglücklich gestellt war.
Zu

Zitat:

Ich hatte den ersten Satz der Aufgabenstellung ("Seien N, M Mengen...") so gelesen, dass M und N fest gewählt sind. Anscheinend ist N also beliebig. Dann ist die gesamte Aussage aber irgendwie uninteressant. Wie soll man so was denn anwenden? verwirrt

kann ich leider erst nächste Woche etwas sagen, wenn ich die Musterlösung gesehen habe.

Neue Frage »

Antworten »

Reguläre Gruppenoperation

Verwandte Themen