Eigenschaften von Relationen bestimmen

28.10.2012, 17:28

Sakila

Eigenschaften von Relationen bestimmen

Hallo,
mir werden in einer Aufgabe Relationen vorgegeben und ich soll bestimmen (mit Beweis), um welche Art Relation es sich handelt. Zur Auswahl stehen: reflexiv, symmentrisch, antisymmetrisch und transitiv.

Die Erste Relation war "y ist ein Teiler von x"

Mein Vorschlag:

-Reflexiv, da jede Zahl durch sich selbst teilbar ist, also (2,2); (3,3); usw.
-nicht Symmetrisch, da 3 zwar durch 1 teilbar ist, aber nicht 1 durch 3. Also kann man x und y nicht umtauschen.
-Transitiv ja, Beispiel: x=8, y=4 z=2 ---> 8R4 und 4R2 --> 8R2

Antisymmetrie habe ich leider bisher nicht verstanden, ich kenne zwar die Theorie, aber die Aussage (a,b) € R und (b,a) € R ---> a=b macht für mich keinen Sinn. Denn (1,3) und (3,1) sind 3 ungleich 1.

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Die zweite Relation, die gegeben wurde, konnte ich nicht lösen:

"x $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4y"

Meine Ansätze:

-Reflexiv, denn x=2 und y=2, ist 2 $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 8

-Symmetrisch, weil man die beiden Zahlen tauschen kann und die Aussage wahr bleibt
-Transitiv, vielleicht, wenn man die richtigen Zahlen einsetzt.
-Antisymmetrie verstehe ich nicht

Aber das ist es ja, was ich nicht verstehe, ich kann die Aussage auch unwahr machen, wenn ich eine sehr große Zahl für x einsetze und eine sehr kleine Zahl für y.

Kann mir da jemand ein paar Tipps geben?

28.10.2012, 17:32

DP1996

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Antisymmetrie heißt im konkreten Fall, dass wenn b durch a teilbar ist und a durch b teilbar ist, dann a=b ist.

Zitat:

Denn (1,3) und (3,1) sind 3 ungleich 1.

hier hast du das Problem, dass 1 nicht durch 3 teilbar ist, und deshalb eines deiner Paare nicht in der Relation liegt.

Bei der zweiten Relation: Aus welcher Menge sind denn deine Elemente?

28.10.2012, 17:53

Sakila

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R = (x; y) € N X N

...sonst gab es keine Angaben über die konkrete Menge, habe daher nur Beispiele aus der Menge der N Zahlen genommen.

Wegen der Antisymmetrie:

Ok, klingt einleuchtend. Aber die Paare könnten ja auch (2,2) sein, dann gilt a=b. Aber Antisymmetrie ist ja nicht das Selbe wie reflexivität (a,a), deshalb mein Unverständnis.

28.10.2012, 18:02

DP1996

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Reflexivität heißt, dass für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} (m,m)\in R \end{eqnarray*}$ ist.
Antisymmetrie heißt, dass für die Elemente, für die $\begin{eqnarray*} (m,n)\in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (n,m)\in R \end{eqnarray*}$ ist, gelten muss, dass m=n ist.
Nimm als Beispiel die natürlichen Zahlen und die Relation $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} x\leq y \text{und} y\leq x \Rightarrow y=x \end{eqnarray*}$

28.10.2012, 18:30

Sakila

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Wie gesagt, ich kenne die Theorien, aber verstehen, tue ich es dennoch nicht. Anhand eines Beispiels wäre es wohl deutlicher.

Aktuell verstehe ich es so:

R = {(1,1) (2,2)}

...ist für mich reflexsiv, da beide Zahlen vertauscht werden können und der Wert gleich bleibt

R = {(1,2) (2,1)}

...wäre für mich symmetrisch.

R = {(1,2) (3,4)}

...wäre für mich asymmetrisch.

Nun frage ich mich doch, wie da jetzt noch antisymmetrie aussehen soll.

Auch ist es für mich sehr schwer, dass ganze System auf die Aussage x kleinergleich 4y umzumünzen.

Die Theorien alleine helfen mir da wenig. Sowas kann ich vielleicht auf einfache Zahlenpaare wie oben anwenden, aber nicht so recht auf mathematische Aussagen.

28.10.2012, 19:33

DP1996

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Antisymmetrie sähe so aus: R={(1;1), (1;2), (2;2)} (ich empfehle dir, das nachzuprüfen, vllt. hilft es deinem Verständnis ja)

Nichtsdestotrotz empfehle ich dir, dich hinzusetzen und darüber nachzudenken, was die theoretische Definition denn besagt (und das kann durchaus etwas länger dauern), und zumindest zu lernen, was du nachprüfen musst (und wie du das nachprüfen kannst), um Antisymmetrie zu zeigen.

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