Nullstellen in Abhängigkeit eines Parameters |
| 28.10.2012, 17:40 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Nullstellen in Abhängigkeit eines Parameters es handelt sich bei mir weniger um eine konkrete Rechnung, deren Lösung ich brauche, sondern eher um gewissen Zusammenhänge die sich mir Aufgrund von Krankeitstagen nicht erschließen. Gegeben ist Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von k. Und es ist sicherlich viel verlangt, aber ich bräuchte eigentlich ne Grundaufklärung über die Herangehensweise. :/ |
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| 28.10.2012, 17:42 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Nulpine, dir ist klar, dass man dafür die pq-Formel bzw. Mitternachtsformel verwendet? Lass dich dabei von dem k vorerst nicht verwirren. Wie setzt du die pq-Formel dann an? |
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| 28.10.2012, 17:47 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zuallererst ist mir eigentlich gar nichts so wirklich klar, sonst wäre deine Mühe überflüssig 
Ähm die pq verwenden wir eigentlich gar nicht!? Oder falls doch ist es mir nicht bewusst. Mitternachtsformel oder Satz des Vieta, ist das einzige was wir anwenden. |
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| 28.10.2012, 17:49 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast sicher schon oft Nullstellen ohne Parameter berechnet. Das mache hier nun, dabei betrachte den Parameter erst mal als gewöhnliche Zahl. Die Bedeutung/Besonderheit klären wir, sobald du die Mitternachtsformel angewandt hast 
.(Die pq-Formel ist heutzutage gebräuchlicher, mir lieber ist aber die Mitternachtsformel, also wende diese gerne hier an
) |
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| 28.10.2012, 17:56 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich rechne also die Diskriminante aus, die ich aus dem Teil unterhalb der Wurzel bekomme. D = (-2)²-4*3*(14k) = 4+48k setze das gleich 0 und erhalte für k = -0,5 Und genau da setzt es eigentlich aus, was soll mir dieser Wert von k nun sagen? |
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| 28.10.2012, 18:08 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, das scheint gut zu klappen 
.Allerdings hast du k falsch berechnet. 4+48k=0 -> k=? (Und ein Schreibfehler -> 14k=-4k) Wir haben unendlich viele Graphen. Der einzige Unterschied dieser Graphen liegt bei k. In Abhängigkeit von k können wir folgende Aussage treffen: Hat die Diskriminante eine Lösung kleiner 0, so ist die Wurzel nicht definiert und die Graphen für die dies erfüllt ist, haben keine Nullstelle. Ist die Diskriminante genau 0, wird das +- vor der Wurzel wirkungslos -> Wir haben genau eine Lösung. Das ist für ausschließlich k=??? der Fall (siehe Bild) Ist die Diskriminante positiv so wirkt das +- vor der Wurzel und wir erhalten zwei Lösungen -> also auch zwei Nullstellen. Wann die Lösung positiv oder negativ ist liegt also an k. Die Grenze haben wir mit k=??? festgestellt. Klar?
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| 28.10.2012, 18:16 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh sorry es sollte -0,083 für k rauskommen. Das heißt also für gibt es keine Nullstellen und für gibt es zwei einfache Nullstellen, oder? |
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| 28.10.2012, 18:18 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Yup, das ist richtig
.Wobei mir genauer und damit lieber ist
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| 28.10.2012, 18:20 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ich Brüche nicht so unsagbar hassen würde, würde ich sie wohl auch öfter als Darstellungsmedium verwenden
Doch nun ist die die Problematik, was ist wenn ich in meiner berechnung von D wieder zu einer quadratischen Funktion komme? |
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| 28.10.2012, 18:23 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun gut, jedem wie es beliebt. Runden darfst du aber erst am Endergebnis! Zwischenergebnisse müssen genau wiedergegeben werden. Ich verstehe deine Frage nicht ganz? Mit obiger Aufgabe sind wir fertig. Du hast die drei Bereiche von k genannt, für die es eine unterschiedliche Anzahl von Nullstellen gibt. |
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| 28.10.2012, 18:27 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich meinte damit, wenn die Gleichung beispielsweise so aussieht: fk = 3x²-2kx+3x+4 Dann erhalte ich ja in meiner Diskriminante wieder eine quadratische Funktion und hab somit ja zwei Ergebnisse für k? |
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| 28.10.2012, 18:31 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann brauchst du zweimal eine Mitternachtsformel. Einmal die Mitternachtsformel wie gerade eben und einmal um nochmals k zu bestimmen. Dabei erhältst du (wie du schon richtig sagtest) zwei Ergebnisse für k. Diese zwei Ergebnisse bedeuten für die "erste" Mitternachtsformel, dass es genau eine Lösung gibt. Nun gibt es zwei Bereiche...einmal zwischen den beiden k-Nullstellen und einmal außerhalb. Jeder der beiden Bereich steht entweder für keine Nullstelle oder für zwei einfache Nullstellen
. |
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| 28.10.2012, 18:38 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und da fehlen mir eben die Zusammenhänge, ich müsste dann quasi mein D ebenfalls als Parabel sehen und bräuchte dann ja wiederum eine Diskriminante von der Diskriminantenparabel (dieses Wort existiert wohl nur in meinem Kopf, also entschuldigt den Neologismus) um bestimmen zu können, wann die Diskriminante der Ursprungsfunktion gleich 0 ist. Nur was fange ich mit den 2 Werten an? p.s. hoffe es ist nicht zu umständlich beschrieben :/ |
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| 28.10.2012, 18:49 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, dein obiger (erster) Absatz passt soweit
.Mit den zwei Werten? Die nimmst du schonmal als Antwort zur Frage, wann wir genau eine Nullstelle haben. Dann nimm z.B. einen Wert aus deren Mitte (also im Intervall zwischen den Beiden) und untersuche ob die "erste" Diskriminante positiv oder negativ ist. Das gilt dann für das gesamte Intervall zwischen den beiden Punkten. Für außerhalb gilt genau die umgekehrte Polarität (also im Intervall positiv -> außerhalb negativ und andersrum). Man kann das auch im Schaubild veranschaulichen, wenn dir das hilft
.Das sind beides die Diskriminanten der "ersten" Mitternachtsformel. Wie du siehst haben wir im ersten Schaubild genau einen Nullstelle. Das ist für das k, dass den eigentlichen Graphen f(x) genau einen Nullstelle beschert. Alles links davon ist kleiner Null und für uns uninteressant -> keine Nullstelle. Alles rechts davon liefert uns zwei Nullstellen. Bei zweiterem Schaubild haben wir genau zwei Nullstellen für k. Das sind die beiden Nullstellen die dem eigentlichen Graphen g(x) zweimal genau eine Nullstelle bescheren. Alles was über der x-Achse liegt liefert zwei Nullstellen, alle k-Werte die zwischen den beiden Nullstellen liegen sind negativ und liefern deshalb kein Ergebnis. Hoffe das hat das ganze etwas visualisiert
. |
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| 28.10.2012, 18:59 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Visualisierung verwirrt mich glaub ich eher 
Wie komme ich denn mit den zwei Werten meiner Diskriminante auf die Anzahl, die Art und die Lage meiner Nullstellen der 1. Funktion? :/ |
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| 28.10.2012, 19:12 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die "Anzahl" und "Art" ist ja das gleiche oder? Und die "Lage" hast du gegeben, sobald du die Nullstelle bestimmt hast -> Wegen der Anzahl -> es gilt gleiches wie vorher bei dem "einfachen" Beispiel. Nur das du jetzt nicht einfach sagen kannst k>0, k<0 und k=0, sondern etwas genauer differenzieren musst (wie im Vorpost erklärt)
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| 28.10.2012, 19:18 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit der Art meine ich "zwei einfache Nullstellen" oder "eine doppelte Nullstelle". Mit der Anzahl ist gemeint, dass es ja durch die quadratische Form in der Diskriminante doch eigentlich 2 doppelte Nullstellen geben müsste, oder täusche ich mich da? |
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| 28.10.2012, 19:23 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das hast du richtig erkannt. Das sind gerade die Lösungen der zweiten Mitternachtsformel
.
Aso ok. Dafür bestimme am besten erstmal die "doppelten" Nullstellen. Davon hast du ja zwei. Dann kannst du nämlich die zwei anderen Bereiche leicht bestimmen: Einmal wo die erste Diskriminante >0 ist und einmal wo sie <0 ist. Das sind eben die Bereiche die ich vorher erwähnte -> In der Mitte der beiden Nullstelle oder eben außerhalb. Welcher Bereich nun positiv oder negativ ist, bestimmst du durch eine Punktprobe
. |
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| 28.10.2012, 19:37 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ergo: D = (2k-3)²-4*3*4 = 4k²-12k-39 => k1 = 4,96 und k2 = -1,96 Für die doppelte Nst. wäre die Lösungmenge also Für k E ]-1,96;4,96[ und für die zwei einfachen Nst. wäre die Lösungesmenge Für k E ]-∞;-1,96[ u ]4,96;∞[ ? |
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| 28.10.2012, 19:43 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sieht ganz gut aus, allerdings genau andersrum. (Solange das Kauderwelsch ein Unendlichzeichen ist.) Das ist innerhalb des Intervalls und nicht außerhalb, unsere einfachen Nullstellen. (Edit: Ich hoffe du hast dich von meinen Schaubildern nicht verwirren lassen. Das waren iwelche und nicht auf unser Beispiel bezogen
).Außerdem: Schreibst du hier ein Intervall
wo Mengenklammern hingehören: Edit: Bin Essen. Bis glei |
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| 28.10.2012, 20:01 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zuerst entschuldige bitte, ich verwende immer die Intervallschreibweise und habe mich vielleicht zu schwammig ausgedrückt
Ähm aber zu deiner Feststellung, dass es genau umgekehrt ist, scheine ich dann nen Fehler in der ganzen Matrix zu haben :/ (und ja der komische Zeichensalat sollte ein Unendlichzeichen darstellen
)Gedankengang: Alles was zwischen -1,96 und 4,96 liegt (die beiden Werte ausgeschlossen) ist kleiner als Null => keine Nullstelle bei -1,96 und 4,96 die Doppelten Nullstellen und alles was außerhalb von -1,96 und 4,96 liegt (ich hoffe du weißt, wie ich das bei der Parabel meine) hat 2 einfache Nullstellen. Wobei aber -1,96 und 4,96 ja außerhalb des Interfalls sein müssen, da bei den beiden Werten, die Diskriminante gleich Null ist und somit wieder die doppelten Nullstellen aufweißt? |
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| 28.10.2012, 20:16 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sry, war mein Fehler. Hab mich zu sehr vom Essen ablenken lassen 
.Hast du genau richtig erkannt
. |
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| 28.10.2012, 20:39 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hattest mir jetzt schon dezent Angst gemacht :> |
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| 28.10.2012, 20:41 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
War nur zum Testen
.(Test bestanden
^^) |
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| 28.10.2012, 21:06 | Nulpine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wer's glaubt ;D Aber bei den Differenzfunktionen wirst du das sicherlich wieder gut machen
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