Ungleichungen mit binomischen Lehrsatz beweisen

28.10.2012, 18:04	Tenacious	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen mit binomischen Lehrsatz beweisen Hallo, ich bräuchte für folgende Aufgabe einen Tipp oder Hinweis wie ich an die ganze Sache rangehen soll, weil allein schon vom draufgucken wüsste ich nicht wie ich anfangen sollte... "Beweisen Sie unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes für beliebige positive reelle Zahlen $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ die Ungleichung(en): $\begin{eqnarray} \| \sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b} \| \leq \sqrt[n]{\| a - b \| }\leq \sqrt[n]{a + b} \leq \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} \end{eqnarray}$ " Wie kann ich hier $\begin{eqnarray} (a+b)^{n} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{k} b^{n-k} \end{eqnarray}$ verwenden?
28.10.2012, 20:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einer Vertauschung von $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ ändert sich die Aussage nicht, so daß man $\begin{eqnarray} a \geq b > 0 \end{eqnarray}$ annehmen darf. Man kann dann auf die Betragsstriche verzichten. Beim zweiten Ungleichheitszeichen kann man sich einfach auf die Monotonie der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Wurzel berufen (die aus der Monotonie der $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Potenz auf den positiven Zahlen folgt). Die erste Ungleichung ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{a} \leq \sqrt[n]{a-b} + \sqrt[n]{b} \end{eqnarray}$ Da beide Seiten der Ungleichung positiv sind, erhält man eine dazu äquivalente Aussage, wenn man die Ungleichung in die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Potenz erhebt.

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