Hauptwert des Arguments z^-1 ??? | z= 1+i

28.10.2012, 18:05

Ihsan

Hauptwert des Arguments z^-1 ??? | z= 1+i

Meine Frage:
z= 1+i

Bestimmen Sie den Hauptwert des Argumentes von z^-1 !!!

P.S. Thema Lineare Algebra / Komplexe Zahlen.

Meine Ideen:
Ideen habe ich wirklich keine.

28.10.2012, 18:58

Stefan_TM

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RE: Hauptwert des Arguments z^-1 ??? | z= 1+i
Hallo,
z= 1+i => z^-1= 1/(1+i) =(1-i) /((1-i)(1+i)) = (1-i)/2
Also:
z^-1= 1/2 +i*(-1/2)

z^-1 = cos (fi) +i sin (fi)
Was isf fi?

28.10.2012, 19:33

original

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RE: Hauptwert des Arguments z^-1 ??? | z= 1+i

Zitat:

Original von Stefan_TM
Also:
z^-1= 1/2 +i*(-1/2)

z^-1 = cos (fi) +i sin (fi) verwirrt

Was isf fi?

->
.. könnte es nicht sein, dass z^-1 = | z^-1 |* [ cos (fi) +i sin (fi) ] ist ?

.

28.10.2012, 21:04

Stefan_TM

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RE: Hauptwert des Arguments z^-1 ??? | z= 1+i
@original, danke,
aber sicher
z^-1= |z^-1| (cos(fi) +i sin (fi)) =2^1/2 [(2^1/2)/2 +i(-2^1/2)/2]

28.10.2012, 21:24

Stefan_TM

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RE: Hauptwert des Arguments z^-1 ??? | z= 1+i
Also diesmal richtig:
z^-1= |z^-1| (cos(fi) +i sin (fi)) =(2^1/2)/2* [(2^1/2)/2 +i(-2^1/2)/2]
cos (fi)= (2^1/2)/2
und sin(fi)= -(2^1/2)/2
resultuert fi= -pi/4

29.10.2012, 06:24

Stefan_TM

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RE: Hauptwert des Arguments z^-1 ??? | z= 1+i
Jetzt mal in Latex(das muss ich noch ganz schön üben):

$\begin{eqnarray*} z=1+i \text{, }<br /> z^{-1} = \frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2} =\frac{1}{2} + i(\frac{-1}{2}), weiter \text{ } <br /> a+ib = \sqrt{a^{2}+b^{2}} * (\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2} } } +i*\frac{b}{\sqrt{a^{2} +b^{2} }})=\rho*(cos\phi +i*sin\phi), davon \text{ } resultiert, dass \text{ }tan\phi= a/b, \text{ } in unserem Fall \rho= \sqrt{(1/2)^{2}+(-1/2)^2}, und\text{ } tan(\phi)=-1, \phi=-\pi/4 <br /> \end{eqnarray*}$

29.10.2012, 11:06

original

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RE: Hauptwert des Arguments z^-1 ??? | z= 1+i

Zitat:

Original von Stefan_TM

Jetzt mal in Latex(das muss ich noch ganz schön üben):

schön - ?aber ohne Abschnitte? ... alles grausam in einer Zeile ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot (1-i)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot ( \frac{\sqrt{2} }{2} - \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot i ) \end{eqnarray*}$

so - und jetzt ist es nicht optimal, den Winkel mit tan(phi)= - 1 bestimmen zu wollen .. denn da
gibt es ja bekanntlich in [0 ; 2*pi) zwei Möglichkeiten für phi ..
also,
warum nicht so:
es muss gelten ->
..................................

$\begin{eqnarray*} \cos( \phi )= \frac{\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sin( \phi )= -\frac{\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray*}$

........................... $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \phi = \frac{7 \pi }{4} \end{eqnarray*}$

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