Einstieg in Mengenlehre

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blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »
Einstieg in Mengenlehre
Guten Abend.

Ich habe zwar zwei Vorlesungen zur Mengenlehre besucht, aber ich weiß überhaupt nicht wie ich folgende Aufgabe angehen soll.

Aufgabe:

Seien A, B, C endliche Teilmengen einer Menge M . Leiten Sie eine Formel
her, die durch und die Mächtigkeit von Schnitten ausdrückt.

Ansatz:

Ich kann mir überhaupt nicht vorstellen, wie so eine Formel dafür aussehen soll.

Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben und ich versuche dann weiter.

Vielen Dank smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dies für löst, dann gilt , da der Durchschnitt von A und B sowohl in A wie in B enthalten ist. Dies kannst du mit einer weiteren Menge analog erweitern.

Gruß
Peter
 
 
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort RavenOnJ.

Jetzt habe ich auch die Aufgabe richtig verstanden.



Ist das richtig?
Und reicht diese eine Zeile, oder muss man noch mehr schreiben?

Dankeschön
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist das richtig?


Nein, ich formuliere es mal anders.

Setze , dann ist



jetzt nutze die oben beschriebene Eigenschaft für



und setze danach wieder die Ursprünglichen Mengen ein. Dann bekommst Du die richtige Formel.
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass du mir hilfst Mazze.

Stimmt das wirklich?
Zitat:


In der Aufgabe steht doch:

Ich hätte gesagt, dass und dadurch kann nicht richtig sein.

Oder verstehe ich da etwas falsch?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, da hab ich einen blöden Buchstaben benutzt. Setze

Augenzwinkern
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Leider kann ich dir nicht folgen traurig

Löse ich das dann auch wie in der Aufgabenstellung beschrieben? Also "durch | A|, | B|, | C|"?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also, Du weißt ja von oben, dass



bzw. so wie ich das sehe musst Du das sogar noch beweisen. Sei es drum (machen wir später). Wir haben jetzt

und setzen , dann haben wir also



Jetzt kannst Du wieder die Formel mit den zwei Mengen benutzen. Danach setzt Du für N entsprechend wieder ein und formst weiter um, bis Du nur noch Durchschnitte und zu stehen hast.
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Mühe.

Also:





Soweit richtig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde noch ein Paar klammern setzen



ansonsten kannst Du bei wieder obige Eigenschaft nutzen. Für den hinteren Teil musst Du etwas nachdenken Augenzwinkern
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »



Meinst du mit nachdenken das ich den hinteren Teil zusammenfassen muss?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Aufgabe ist es doch, den Ausdruck



als Summe von |A|,|B|,|C| und Durchschnitten zu schreiben. Offenbar ist bei

und bei noch eine Vereinigung zu sehen. Diese sind auch noch umzuformen.
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Was hälst du von diesem Vorschlag:

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was hälst du von diesem Vorschlag:


Wir machen hier keine Ratespiele bis etwas richtiges herauskommt. Wir sind an diesem Punkt :



Die Terme sind noch umzuformen. Offenbar hast Du das auch schon versucht, aber so wie Du es aufgeschrieben hast ist es noch nicht korrekt.

Ich denke hast Du richtig umgeformt und wir erhalten




Jetzt ist nur noch der Ausdruck umzuformen. Aber die übrigen Terme von Dir stimmen damit nicht überein. Was hast Du genau gemacht bei diesem Ausdruck?
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zeichne mir Venn-Diagramme und male mir die einzelnen Ausdrücke farbig.



Wie bist du das angegangen? Gibt es da Rechenregeln zum unwandeln, oder zeichnet man sich das am besten auf?

Danke nochmal
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie bist du das angegangen? Gibt es da Rechenregeln zum unwandeln, oder zeichnet man sich das am besten auf?


Aufzeichnen kann Dir die Sachverhalte höchstens klar machen , aber sind niemals beweise. Allgemein gilt :



Damit folgt dann



Damit haben wir dann aber auch alles.
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, dann war das ja gar nicht falsch smile

Demnach ist das die Lösung:


Zitat:
Original von Mazze
Also, Du weißt ja von oben, dass



bzw. so wie ich das sehe musst Du das sogar noch beweisen. Sei es drum (machen wir später).


Muss ich das nun noch beweisen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Demnach ist das die Lösung:


Achte genau auf die Vorzeichen. So ist es noch falsch.
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich muss also alle Vorzeichen umdrehen, weil vor dem Ausdruck ein Minus steht?



Nun richtig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

So passt das.

Zitat:
Muss ich das nun noch beweisen?


Die Frage ist, ob Du schon weißt dass



gilt. Wenn ja ist nichts mehr zu tun, wenn nein muss das erst bewiesen werden.
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Das muss ich leider verneinen, ich weiß es noch nicht, aber logisch ist es für mich. smile

Ist mit beweisen gemeint, dass ich durch umformen der linken Seite der Gleichung auf die rechte komme?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist mit beweisen gemeint, dass ich durch umformen der linken Seite der Gleichung auf die rechte komme?


So siehts aus.
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt dazu leider nichts ein.

Aber ich muss dir ein ganz großes Dankeschön sagen für deine Mühe und Geduld, ohne dich ( und Raven) hätte ich überhaupt nichts geschafft und nun habe ich schon ein besseres Gefühl dafür. Freude
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die grundsätzliche Idee für den Beweis ist, für die Mengen

zwei Mengen zu finden mit und , denn dann ist



da C und D disjunkt sind. C und D haben eine bestimmte Struktur aus der dann sofort




folgt. Überlege mal die Du C,D wählen kannst.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blu3.Eye
Das muss ich leider verneinen, ich weiß es noch nicht, aber logisch ist es für mich. smile

Ist mit beweisen gemeint, dass ich durch umformen der linken Seite der Gleichung auf die rechte komme?


Das zu beweisen ist nicht so schwer. Du musst disjunkte Mengen finden, die zusammen A bzw. B ergeben. Dann ergibt sich deren Mächtigkeit durch die Summe der Mächtigkeiten der disjunkten Mengen. Dann ist noch zu zeigen, wie sich die Menge aus den genannten disjunkten Mengen ergibt, woraus sich dann die Formel für deren Mächtigkeit ergibt.

Guß
Peter
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Verzweifle gerade etwas.. traurig

Habe nach langer Überlegung nur diese Idee:




weil

Kann ich jetzt einfach C,D mit A,B austauschen?
Es ist bestimmt eh falsch..
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

nein, du kannst die A, B nicht durch C,D austauschen. Das kannst du schon allein daran sehen, dass A und B u.U. einen nicht-leeren Durchschnitt haben. Denk mal lieber an und ...

Gruß
Peter
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »



Soll ich damit weiterarbeiten?

Zitat:
und...




Oder hast du etwas anderes gemeint?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe Die Mengen C und D nur eingeführt um Dir klar zu machen was gesucht ist. Die Mengen C,D hängen direkt von A und B ab.

Zitat:


Das ist schon eine gute Idee. Spiel doch mal ein wenig rum mit den Mengen.
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern rumspielen?

Ich habe nach A umgestellt, bzw. B \ A nach B.
Aber ich komme nicht voran.




Muss ich das jetzt in diese Gleichung einsetzen?

Zitat:


Oder bin ich da auf dem falschem Weg?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Inwiefern rumspielen?


Wenn einem nicht sofort die Lösung einfällt ist es durch aus hilfreich sich mal Beispiele zu nehmen um zu schauen was der Kern der Sache ist. Offenbar sind die Mengen

und disjunkte Mengen. Was könnte man mit denen jetzt tun ? Wo wollen wir eigentlich hin? (niemals aus den Augen verlieren)
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Die grundlegende Idee ist
Zitat:
für die Mengen zwei Mengen zu finden mit und , denn dann ist

da C und D disjunkt sind.


Also:



und



verwirrt

Ich würde gerne auf Beispiele zurückgreifen, aber wir haben in den beiden Vorlesungen nicht einmal etwas bewiesen, sondern nur grundlegende Sachen, wie die Definitionen von Grundbegriffen oder Operationen mit Mengen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wie die Definitionen von Grundbegriffen oder Operationen mit Mengen.


Die auch völlig ausreichend sind!

Zitat:
und


Prinzipiell ja, aber besser schreibst Du
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die auch völlig ausreichend sind!


Aber es ist irgendwie was ganz neues. Auf dem Gymnasium haben wir fast nie etwas bewiesen. Aber ich muss mich wohl daran gewöhnen.




Also:







Und da A und B disjunkt sind kann man schreiben:



verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber es ist irgendwie was ganz neues. Auf dem Gymnasium haben wir fast nie etwas bewiesen. Aber ich muss mich wohl daran gewöhnen.


Während man an der Schule oft nur rechnet betreibt man an der Uni "richtige" Mathematik. Das kommt natürlich auf die Studienrichtung und die Schule an. Es gibt auch Schulen bei denen tiefer in die Mathematik vorgedrungen wird.

Zu deinen Überlegungen:

Wenn Du

setzt und

dann ist



Du solltest schon sorgfältiger mit den Dingen die Du definierst umgehen und wirklich prüfen ob wirklich gleich ist, was es so nicht ist. Wähle etwa



Dann ist

aber

Für D musst Du dir also was anderes überlegen. C kannst Du so lassen.
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube jetzt habe ich es:

Wir suchen für die Mengen zwei Mengen mit und . Das heißt C und D sind disjunkt und wenn ich nun C und D durch A und B ausdrücken kann, sodass die beiden noch immer disjunkt sind müsste ich es haben.




denn

Nun gilt auch:




Und wenn ich nun den Betrag von A vereinigt B bilde, denke ich würde sich \ zu - ändern und zu + ändern.



??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nun gilt auch:


Das gilt nicht. Das brauchen wir aber auch nicht.
Zitat:


Ja, so gehts!

Zitat:


Ja, das ist korrekt. Ich würde den Spaß aber gänzlich ohne C,D formulieren, ich hab die Mengen nur eingeführt um dir die Idee klar zu machen. Ich würde einfach



schreiben. Im Übrigen ist die Verallgemeinerung dieser Aussage als Siebformel bekannt.
blu3.Eye Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, ich habe es tatsächlich vor allem dank dir Mazze aber auch Peter geschafft.
Danke noch einmal für eure Zeit, Mühe und Geduld smile
Aller Anfang ist bekanntlich schwer Ups

Auch wenn es noch früh ist geht ein virtuelles Bier an euch Prost
Schönen Tag noch Wink
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blu3.Eye

Auch wenn es noch früh ist geht ein virtuelles Bier an euch Prost


Na denn, danke für die Einladung, Prost

Gruß
Peter
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