Komplexe Vektorräume

29.10.2012, 10:08

Der Ehrgeizige

Komplexe Vektorräume

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet wortwörtlich: Zeigen Sie, dass die komplexen Zahlen einen zweidimensionalen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum bilden.

Meine Ideen:
Nun wenn ich zeigen müsste, dass ein Vektorraum existiert, dann müsste ich die Vektorraumaxiome überprüfen und hier in meinem Fall müsste ich es doch auch tun, oder?

29.10.2012, 10:30

Leopold

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Ja, du mußt zunächst zeigen, daß $\begin{eqnarray*} V = \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

1. Überlege dir zunächst, was die "Vektoraddition" hier ist.
2. Und was ist die "skalare Multiplikation"?

Entweder steht irgendwo in deinen Unterlagen, wie das genau aufzufassen ist (manchmal irgendwo versteckt in einem Nachsatz), oder du legst es selbst fest, indem du eine "natürliche Definition" machst. Damit ist gemeint: nicht verquer denken, das Naheliegende nehmen.

Das Wesentliche ist nicht, die Vektorraumaxiome nachzuprüfen, ganz im Gegenteil, die Arbeit ist schnell gemacht, indem man sich auf Bekanntes beruft.

3. Wesentlich ist, die Abgeschlossenheit der "Vektoraddition" und "skalaren Multiplikation" zu zeigen. Dabei ist es wichtig, an jeder Stelle zu wissen, von welcher Natur (reell/imaginär/komplex) ein Objekt ist.

Und dann noch die Sache mit der Dimension.

4. Gib eine Basis aus zwei Elementen an. Überprüfe die lineare Unabhängigkeit der Elemente.

29.10.2012, 11:00

Der Ehrgeizige

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also muss ich zeigen dass

i) $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Körper ist

ii) ( $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ,+) eine abelsche Gruppe ist also (zz. Abgeschlossenheit, neutrales Element, Inverses, Assoziativität, Kommutativität)

29.10.2012, 11:03

Leopold

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Daß $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}, \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ Körper sind, bin ich fast sicher, hattet ihr bereits in der Vorlesung. Das mußt du also nicht zeigen. Im Gegenteil: wo du etwas davon brauchst, kannst du dich darauf berufen.

Viel wichtiger ist es, daß du meine Fragen 1. und 2. beachtest. Sag etwas dazu. Sonst kommen wir nicht weiter.

29.10.2012, 11:21

Der Ehrgeizige

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Du bist dir fast sicher es ist aber es dann doch nicht gezeigt. Und zu deinen Fragen 1 & 2 es muss eine Abbildung existieren oder?

f(a+b) = f(a) + f(b)

( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ a) = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ f(a)
hmm (ich bin echt am überlegen und herumsuchen)

29.10.2012, 11:30

Leopold

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Für einen Vektorraum braucht man zwei Operationen:

i) eine Vektoraddition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ : mit ihr bekommt man aus zwei Vektoren einen neuen Vektor, den "Summenvektor"

ii) eine skalare Multiplikation $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ : mit ihr bekommt man aus einem Skalar (!) und einem Vektor einen neuen Vektor, den "skalar multiplizierten Vektor"

Mit "Skalar" ist in diesem Zusammenhang immer ein Körperelement des zugrunde liegenden Körpers (bei uns also $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) gemeint, mit "Vektor" ein Element des Vektorraumes (bei uns also $\begin{eqnarray*} V = \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ).

Natürlich liegt noch kein Vektorraum vor, wenn $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ gegeben sind. Erst wenn für diese Operationen die Vektorraumaxiome erfüllt sind, ist das der Fall.

Daher mußt du zunächst sagen, was bei dir jetzt $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ sind. Du drückst dich da darum herum. Wie willst du etwas über Operationen beweisen, wenn du diese Operationen gar nicht kennst!

Also: Was sind $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ in deinem Fall?

(Dein Titel ist übrigens irreführend. Es geht hier zwar um komplexe Zahlen als Vektoren, aber nicht um komplexe Vektorräume. Vielmehr geht es darum zu zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein (zweidimensionaler) reeller (!!!) Vektorraum ist.)

EDIT

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Du bist dir fast sicher es ist aber es dann doch nicht gezeigt. Und zu deinen Fragen 1 & 2 es muss eine Abbildung existieren oder?

f(a+b) = f(a) + f(b)

( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ a) = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ f(a)
hmm (ich bin echt am überlegen und herumsuchen)

Da hast du einfach in deinen Unterlagen etwas abgeschrieben (und auch noch falsch). Mit der vorliegenden Aufgabe hat das aber nicht das geringste zu tun. Wir reden hier nicht von linearen Abbildungen.

29.10.2012, 11:52

Der Ehrgeizige

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(Das ist der Titel der Übungsaufgabe...)

29.10.2012, 11:56

Leopold

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Warum machst du es dir und mir so schwer?

Um das Problem zu verdeutlichen, stelle ich dir eine andere Aufgabe:

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f(x) und g(x).

Jetzt löse erst diese Aufgabe!

29.10.2012, 12:05

Der Ehrgeizige

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ich mach das doch nicht extra.. ich würde gerne schneller voran kommen aber ich will alles verstehen aber das klappt i.wie nicht...

Schnittpunkte der Graphen f(x) und g(x) bekomme ich indem ich die Funktionen gleichsetze

29.10.2012, 12:46

Leopold

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O.k. - mein Versuch hat nicht geklappt! Ich hatte nämlich gehofft, du würdest antworten: Kann ich nicht, da ich nicht weiß, was die Funktionen sind.

Noch einmal: Du mußt sagen, was die Vektoraddition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ und die skalare Multiplikation $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ sein sollen. Wie willst du über irgendetwas etwas nachweisen, wenn du gar nicht weißt, was das "Etwas" ist!

Jetzt fülle bitte aus:

$\begin{eqnarray*} \text{Mit der Vektorraumaddition} \ \oplus \ \text{meine ich} \ \ldots \ldots \ldots \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Mit der skalaren Multiplikation} \ \odot \ \text{meine ich} \ \ldots \ldots \ldots \ldots \end{eqnarray*}$

Und wenn du das nicht weißt, dann sag es! Dann kommen wir nur weiter, wenn ich es dir verrate.

29.10.2012, 12:57

Der Ehrgeizige

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ja ok man muss die Vektorraumaddition irgendwie definieren als auch die skalare Multiplikation, will jetzt keinen murks schreiben^^ dann überlasse ich dies dir

29.10.2012, 13:25

Leopold

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Für die Vektorraumaddition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ nehmen wir einfach die Addition $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ der komplexen Zahlen und für die skalare Multiplikation $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ nehmen wir die Multiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ der komplexen Zahlen, wobei sie für den skalaren Faktor auf die reellen Zahlen eingeschränkt wird.

Beispiel: Wir nehmen zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und einen Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = 4 - \operatorname{i} \, , \ \ z_2 = -3 + 5 \operatorname{i} \, ; \ \ \lambda = -2 \end{eqnarray*}$

Additionsbeispiel:

$\begin{eqnarray*} z_1 + z_2 = 1 + 4 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Beispiel für die skalare Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} \lambda z_2 = 6 - 10 \operatorname{i} \end{eqnarray*}$

Damit sind die Punkte 1. und 2. meines ersten Beitrags erledigt. Jetzt sind die Vektorraumaxiome nachzuweisen. Aber bitte jetzt nicht die Vektorraumaxiome einzeln durchgehen (höchstens in Gedanken), sondern lieber in ein oder zwei Sätzen sagen, warum da eigentlich nichts mehr zu tun ist. Kümmere dich lieber um die Abgeschlossenheit.

29.10.2012, 16:08

Der Ehrgeizige

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Abgeschlossenheit okay. Von welcher Natur? Von komplexer Natur. Und die Transferfrage, wie zeige ich das.? Bzw. was versteht man unter Abgeschlossenheit?

29.10.2012, 16:27

Leopold

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Bei der Abgeschlossenheit ist zu überlegen, daß die Vektoraddition und die skalare Multiplikation wieder Vektoren, hier also Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ergeben. Das ist aber eigentlich klar, denn bei der Vektoraddition handelt es sich um die Addition in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und bei der skalaren Multiplikation um die Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , wobei ein Faktor auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eingeschränkt ist. Diese Operationen führen aber bekanntlich nicht aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ hinaus, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist ja ein Körper.

(Damit du weißt, worum es geht, noch ein Beispiel für Nichtabgeschlossenheit: Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ der natürlichen Zahlen ist unter der Subtraktion nicht abgeschlossen, da Subtraktionsergebnisse aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ hinausführen können. Beispiel: $\begin{eqnarray*} 5-7 \not \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , obwohl $\begin{eqnarray*} 5 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 7 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .)

Und jetzt noch eine Bemerkung zu den Vektorraumaxiomen. Kannst du einen vernünftigen Grund nennen, warum man die nicht mehr einzeln überprüfen muß?

Wenn das erledigt ist, kommt noch das Eigentliche der Aufgabe: Warum hat $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die Dimension 2?

29.10.2012, 16:36

Der Ehrgeizige

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Wenn sie in "normalen" Vektorräumen gelten, dann müssen sie doch in komplexen Vektorräumen auch gelten. Und danke für das Beispiel für nicht Abgeschlossenheit! Manchmal hilft es echt einfach sich zu überlegen, was ist wenn es nicht so ist. Freude

Die komplexen Zahlen sind doch nur im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ definiert? Im(z) und Re(z) ? Das ist bestimmt wieder sehr ungenau verwirrt

29.10.2012, 16:42

Leopold

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Mit der Antwort kann man nichts anfangen. Es handelt sich hier nicht um einen komplexen Vektorraum, sondern um einen reellen, denn $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist der Skalarkörper. Und danach richtet sich die Bezeichnung "reeller" Vektorraum. Die Vektoren selbst, das sind hier die komplexen Zahlen.

Bei den Vektorraumaxiomen findest du doch so etwas wie

(V,+) ist eine abelsche Gruppe

Und das mußt du ja noch überprüfen. Oder doch nicht? Oder gerade erst recht? Was ist denn bei uns V und was +?

29.10.2012, 17:09

Der Ehrgeizige

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V ist unser zweidimensionaler Vektorraum und + unsere Addition mit unseren komplexen Zahlen

29.10.2012, 18:38

Leopold

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$\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist ja nur ein Name. Aber was ist jetzt $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ hier konkret? Ganz konkret bitte! Das kann man ganz kurz sagen.

29.10.2012, 18:51

Der Ehrgeizige

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V ist unser Vektorraum der gleich den komplexen Zahlen ist über dem Körper der reelen Zahlen

29.10.2012, 18:58

Leopold

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Ok. Ich wollte nur noch einmal sicher sein, daß das bis hierher klar ist. Halten wir also fest:

$\begin{eqnarray*} (V,+,\cdot) = (\mathbb{C},+,\cdot) \ \ \mbox{als Vektorraum über} \ K = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ für die gewöhnliche Addition in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ steht und $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ für die Multiplikation einer reellen Zahl mit einer komplexen Zahl.

Und jetzt frage ich noch einmal: Ist nun $\begin{eqnarray*} (V,+) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe?
Bitte nur in einem Satz antworten, einschließlich Begründung.

29.10.2012, 19:02

Der Ehrgeizige

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Ja, weil die Körperaxiome gelten.

29.10.2012, 19:13

Leopold

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Genauer: Ja, weil $\begin{eqnarray*} (\mathbb{C},+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe ist.
Du solltest genauer auf den Kern einer Sache zu sprechen kommen.

Jetzt gibt es aber noch weitere Axiome zu überprüfen, z.B.

$\begin{eqnarray*} \lambda ( \mu v) = (\lambda \mu)v \ \ \mbox{für alle} \ v \in V \ \mbox{und alle} \ \lambda, \mu \in K \end{eqnarray*}$

So sieht das abstrakt aus. Gilt das aber auch im konkreten Fall?

29.10.2012, 19:27

Der Ehrgeizige

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Im Allgemeinen gilt das aber im konkreten Fall gilt es nicht weil $\begin{eqnarray*} (\mathbb{C},+) \end{eqnarray*}$ nur + also die Addition definiert ist.

29.10.2012, 19:32

Leopold

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Nein, wir haben viel mehr:

$\begin{eqnarray*} (V,+,\color{red}\cdot \color{black}) = (\mathbb{C},+,\color{red} \cdot \color{black}) \end{eqnarray*}$

Wir haben doch nicht nur eine Vektoraddition $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ , sondern auch eine skalare Multiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ erklärt. Und darüber gibt es auch Vektorraumaxiome, von denen ich dir eines aufgeführt habe.

Eigentlich steht das alles aber schon in meinen vorigen Beiträgen ... traurig

Und jetzt noch einmal: Warum gilt auch das Gesetz, das ich dir zuletzt genannt habe, im konkreten Fall?

29.10.2012, 19:42

Der Ehrgeizige

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und was ist jetzt genau mit dem konkreten Fall gemeint?

29.10.2012, 19:46

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Ok. Ich wollte nur noch einmal sicher sein, daß das bis hierher klar ist. Halten wir also fest:

$\begin{eqnarray*} \color{red} (V,+,\cdot) = (\mathbb{C},+,\cdot) \ \ \mbox{als Vektorraum über} \ K = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Ich dachte, das sei klar. War es aber nicht. Da habe ich mich also einer Selbsttäuschung hingegeben. Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie ich dir noch helfen kann. Wenn ich denke, ein gewisser Punkt ist erreicht, und weiter gehen will, dann merke ich nach einer Weile: Gar nichts ist erreicht. Wir stehen noch ganz am Anfang.

29.10.2012, 19:53

Der Ehrgeizige

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Vielleicht bringt mir ja eine Teilösung etwas. Ich versuche es nachvollziehen und Du hast deine Ruhe. Und fragen kann ich dann wieso etwas so ist. Ich glaube das wäre die beste Lösung, ich meine wie lange soll ich hier noch daran sitzen vielleicht ist es mir ersichtlicher wenn ich was korrektes sehe anstatt mich ständig in's "falsche" zu verrennen...

30.10.2012, 10:35

Leopold

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Hier die Teilmusterlösung.

Behauptung 1:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ wird zu einem $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum, wenn man die Addition in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ als Vektoraddition und die von der Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ herrührende Multiplikation einer reellen mit einer komplexen Zahl als skalare Multiplikation nimmt.

Beweis:

Die so definierten Operationen

$\begin{eqnarray*} +: \ \mathbb{C} \times \mathbb{C} \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdot: \ \mathbb{R} \times \mathbb{C} \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

liefern Werte in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Die Vektorraumaxiome sind erfüllt, da sie nur Spezialisierungen der Körperaxiome von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ sind. Insbesondere ist die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ der Nullvektor.

Behauptung 2:

Der oben definierte Vektorraum besitzt die Dimension 2.

Jetzt gehe daran, diese zweite Behauptung zu beweisen. Sichere zuvor anhand deiner Unterlagen noch einmal deine Kenntnisse ab. Dazu sollen dir die folgenden Fragen helfen.

i)
Wann nennt man eine Reihe von Elementen eines Vektorraums ein Erzeugendensystem? Das heißt: Wann spannen sie den Vektorraum auf?

ii)
Wann nennt man eine Reihe von Elementen eines Vektorraums linear abhängig, wann linear unabhängig?

iii)
Was versteht man unter einer Basis eines Vektorraums?

iv)
Wann sagt man: Ein Vektorraum hat die Dimension 2,3,4 und so weiter?

Versuche dann, deine Erkenntnisse auf die konkrete Situation zu übertragen: $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{R}, \, V = \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

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