Frage zum kartesischen Produkt

29.10.2012, 10:16

MatheFrage2222

Frage zum kartesischen Produkt

Meine Frage:
Ich habe eine Frage zum kartesischen Produkt.

Und zwar wenn ich folgende Aufgabe habe:

A={2,3]; B={2,3]

Ax(BxA)

Meine Ideen:
Ich hätte zwei ansätze, weiß aber nicht genau welcher korrekt ist.

Das Kartesische Produkt führt ja alle zweierpaar auf. Also bilde ich zuerst mal das Kartesisce Produkt innerhalb der Klammer:

BxA ={(2,2];[2,3];[3,2];[3,3]}

Und nun komm ich zu meinem Problem. Wenn ich das Kartesische Produkt nochmals mit A bilde muss ich es dann so aufführen?

Ax(BxA] ={(2,(2,2)) traurig

2,(2,3))

2,(3,2))

2,(3,3));...}

Also diese Menenpaar so betrachten, oder kann ich einfach schreiben:

Ax(BxA)={(2,2,2) traurig

2,2,3)

2,3,2);...}

Im letzten Fall würde ich es ja behandeln als würde da stehen "AxBxA"..
Ich würde ja eher denken, dass der erste Fall war ist.

Könnte mir jemand sagen ob ich richtig liege?
Danke

29.10.2012, 10:42

Leopold

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Deine Notation ist völlig chaotisch.

geschweifte Klammer:
$\begin{eqnarray*} \{ 2 , 3 \} \ \ \text{Menge mit zwei Elementen} \end{eqnarray*}$

runde Klammer:
$\begin{eqnarray*} (2,3) \ \ \text{offenes reelles Intervall, unendlich viele Zahlen} \end{eqnarray*}$

eckige Klammer
$\begin{eqnarray*} [2,3] \ \ \text{abgeschlossenes reelles Intervall, unendlich viele Zahlen} \end{eqnarray*}$

Mischformen
$\begin{eqnarray*} (2,3] \ \ \text{halboffenes Intervall, links offen, rechts abgeschlossen, unendlich viele Zahlen} \end{eqnarray*}$

Dagegen ist $\begin{eqnarray*} \{2,3] \end{eqnarray*}$ eine völlig unübliche Notation. Wenn sie in der Aufgabe wirklich vorkommen sollte (was ich nicht glaube), dann ist sie dort sicher auch erklärt. Und dann mußt du diese Erklärung mitteilen.

Jetzt schreibe erst einmal den Aufgabentext ordentlich ab. Vorher kann man nicht helfen.

29.10.2012, 11:19

Mathefrage22222

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Ja eigentlich sollte es auch überall heißen:

..={(2,3) ; (3,3) ; ..}

hatte nur ausversehn die falsche Taste gedrückt.
Werde es aber nochmal überarbeiten. Habe es eben erst gesehen wie chaotisch es aussieht. Verzeiht mir.

Aber kann mir bitte jemand zum eigentlichen Problem antworten?

Ist es nun
..={ ((2,3),2) ; ..}

oder

..={ (2,3,2) ; ..}

29.10.2012, 11:23

Mathe1233

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Oh ich kann es garnicht bearbeiten.

Also eigentlich soll es wie eben beschrieben aussehen. Ich denke das Grundproblem sollte klar sein.
Kann mir vllt jemand trotz meiner chaotischen Beschreibung helfen?
Es geht mir ja nicht um die Notation, sondern eher darum ob ich ein Triple oder ein weiteres Tupel verwenden muss.

29.10.2012, 12:54

Leopold

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Jetzt hast du viele Worte gemacht. Worauf es aber ankommt, darüber hast du kein Sterbenswörtchen verloren. Es geht hier nicht nur um eine Ungenauigkeit in der Notation, sondern die Notation entscheidet hier über den Sinn.

Ist nun $\begin{eqnarray*} A = \{ 2,3 \} \end{eqnarray*}$ eine Menge mit zwei Elementen oder $\begin{eqnarray*} A = (2,3) \end{eqnarray*}$ das offene Intervall aller reellen Zahlen zwischen $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ? Oder etwas anderes?

29.10.2012, 13:28

Mathe3232

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A ist eine Teilmenge, B Auch.
Ist die Teilmenge der Gundmenge G := N

Abe rich möchte doch nur wissen, wie das Kartesische Produkt aussieht.

29.10.2012, 13:35

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Ist nun $\begin{eqnarray*} \color{red} A = \{ 2,3 \} \end{eqnarray*}$ eine Menge mit zwei Elementen oder $\begin{eqnarray*} \color{red} A = (2,3) \end{eqnarray*}$ das offene Intervall aller reellen Zahlen zwischen $\begin{eqnarray*} \color{red} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \color{red} 3 \end{eqnarray*}$ ? Oder etwas anderes?

Ich ahne zwar langsam, was gemeint ist. Dennoch verstehe ich nicht, warum es so schwer ist, einfach einmal zu sagen, was Sache ist.

29.10.2012, 13:39

Mathe32332

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Ich hatte doh bereits gesagt, dass es die Teilmenge der Grundmenge G:=N ist.
Also ist es KEIN Intervall reeler Zahlen.
Es sind die beiden Elemente 2,3 der Natürlichen zahlen.
So wie ich bereits auch das Kartesische Produkt angewendet hatte.
Die frage ich nur, wenn ich Ax(BxA) habe, ob ich dann als kartesisches Produkt
Ax(BxA)={ ( (2,3) ,2) , ..} machen muss, oder ob ich es wie AxBxA behandlen kann, wo ich ja keine Tupel, sondern Tripel bekomme.

29.10.2012, 13:47

Leopold

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In einem strengen Sinn ist $\begin{eqnarray*} X \times (Y \times Z) \end{eqnarray*}$ nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} (X \times Y) \times Z \end{eqnarray*}$ , in einem weiteren Sinn sind die Mengen aber isomorph

$\begin{eqnarray*} X \times (Y \times Z) \cong (X \times Y) \times Z \end{eqnarray*}$

Wenn man diese Isomorphie definitionsgemäß zur Gleichheit macht, gibt es keinen Grund mehr, die beiden Mengen zu unterscheiden. Man kann also auf Klammern verzichten und das Ganze schließlich auch noch mit

$\begin{eqnarray*} X \times Y \times Z \end{eqnarray*}$ ,

also den Tripeln, identifizieren.

29.10.2012, 14:02

Mathe2231

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Ich bin mir nu rnicht sicher, weil es ja heißt, dass das Kartesische Produkt nicht assoziativ ist.

Assoziativgesetz

Das kartesische Produkt ist nicht assoziativ;

A_1 x ( A_2 x A_3 )

enthält Paare, deren erstes Element aus A_1 und deren zweites Element ein Paar aus A_2 A_3 ist;

( A_1 x A_2 ) x A_3

enthält hingegen Paare, deren erstes Element ein Paar aus A_1 A_2 und deren zweites Element aus A_3 ist. Da es aber eine kanonische Bijektion zwischen diesen Mengen gibt, kann der Unterschied zwischen A_1 x ( A_2 x A_3 ) und ( A_1 x A_2 ) x A_3 in vielen Fällen vernachlässigt werden, da er lediglich einer Notationsänderung entspricht.

Den Schluss verstehe ich nicht so ganz.
Also es hieß ja, dass beim Kartesischen Produkt von (und jetzt kommen wir wieder zu meinem Beispiel) A x ( B x A ) das erste Element von A stammt (z.B. 2) , und das zweite aus dem Paar B x A (also z.b. (2,3).
Demnach würde ich schreiben: A x (B x A)= { (2,(2,3)) ;...}
Dann würde ja der Fall (A x B) x A nicht gleich sein oder?

Aber wen ich es mit Tripeln schreiben würde, dann würde A x (B x A) = (A x B) x A sein..
Widerspricht sich das nicht?
Oder kann man das nur so machen, wenn alle Teilmengen die selben Elemente besitzen?
Ich hoffe ich versteht was ich meine, denn so wirklich durchgeblickt habe ich noch nicht.

29.10.2012, 14:27

Leopold

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Dein Zitat enthält ja nichts anderes, als was ich auch gesagt habe. Einerseits sind sie nicht gleich, andererseits kann man sie als gleich ansehen. Es kommt jetzt ganz auf die Situation an, welchen Standpunkt man einnehmen will. Wenn die Unterscheidung wesentlich ist, wird man sie unterscheiden, wenn sie unwesentlich ist, nicht.

Du kennst das "aus frühester Kindheit". Brüche, die auf dem Zahlenstrahl denselben Platz haben, bezeichnet man als gleich:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{8}{12} = \ldots \end{eqnarray*}$

In der Aussage

Der Bruch 5/9 ist kleiner als 1.

kommt es nicht auf die konkrete Zahldarstellung an. Der Sinn bleibt vollkommen erhalten, wenn du 5/9 durch 15/27 oder 95/171 ersetzt. Der Unterschied der verschiedenen Darstellungen ist unwesentlich.

In der Aussage

Der Bruch 5/9 ist nicht mehr kürzbar.

ist das aber offenbar anders gemeint. Hier ist die Unterscheidung von 5/9 und 15/27 und 95/171 wesentlich.

29.10.2012, 14:47

MatheSagtDanke

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Ok vielen Dank für deine Hilfe. smile

Da wir noch den anderen Fall, also (A x B) x A darstellen sollen werde ich es nun mit diesen Tupeln ..={ ( (2,3),2 ) ;... } machen.
Das ist ja schließlich auch korrekt oder?

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