Laurententwicklung um x=0

29.10.2012, 10:49

MannvomMond

Laurententwicklung um x=0

Hallo matheboard,

ich beschäftige mich gerade ein wenig mit Laurententwicklungen, habe aber leider noch nicht viel mit Funktionentheorie zu tun gehabt.

Ich habe eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{p(x)}{x^n\cdot q(x)} \end{eqnarray*}$ und würde diese gerne an der Stelle x=0 auswerten, was ja nicht so direkt funktioniert, da dies eine Polstelle n-ter Ordnung ist. Ich habe nun einen Ansatz gefunden, dass einfach das Taylorpolynom von p(x)/q(x) berechnet wird und dann der Koeffizient des Monoms x^n das gewünschte Ergebnis liefert. Das wäre ja dann wieder der konstante Term der Laurent-Reihe. Was ich aber nicht verstehe: wieso darf das gemacht werden? Wieso darf ich den Hauptteil einfach ignorieren, um dann f bei x=0 auszuwerten?

Ein anderer Ansatz führt Partialbruchzerlegungen, aber auch hier werden dann die Terme mit negativen Exponenten einfach weggelassen.

Grüße, Mann vom Mond

29.10.2012, 10:55

Leopold

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Das ist ein bißchen durcheinander!

Polstelle wovon? Von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ? Von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ? Von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ? Was sind überhaupt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ? Rationale Funktionen? Sogar ganzrationale Funktionen? Oder nur holomorphe Funktionen? Vielleicht gar nur meromorphe Funktionen?

Wenn übrigens $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ein Pol $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ter Ordnung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre, dann könnte man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gar nicht auswerten. Es sei denn, man sagt da irgendetwas von "unendlich" im Sinne der Einpunktkompaktifizierung (Riemannsche Zahlenkugel).

29.10.2012, 11:15

MannimMond

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Huch, ok danke für deine Antwort, ich versuche zu ordnen (ich bin auch schon ganz durcheinander):
p(x) und q(x) sind natürlich Polynome und x=0 ist Polstelle n-ter Ordnung von f(x)! x=0 ist außerdem auch keine Nullstelle von p(x) und q(x) (also keine Chance auf hebbare Singularität). p(x) und q(x) sind also holomorph und f(x) meromorph.

Und das Ganze wird nun bei x=0 ausgewertet und ich wunder mich auch, wie (oder mit welcher Begründung) das überhaupt geht. Im Buch, was über den Ansatz der Partialbruchzerlegung herangeht, steht

Zitat:

Wir brauchen die Koeffizienten, die nur zu Termen mit negativen Exponenten beitragen, gar nicht ausrechnen. Diese Terme können wir einfach vernachlässigen, da sie sich nicht auf den konstanten Term von f auswirken.

Von Riemannscher Zahlenkugel oder ähnliches steht da leider gar nichts unglücklich

29.10.2012, 11:39

Leopold

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Ich glaube, dein Problem liegt tiefer. Du weißt nicht nur nicht, wie man die Aufgabe löst - schlimmer, du weißt nicht einmal, was die Aufgabe ist!

Du sprichst von "Auswerten" von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Das geht aber nicht, wenn $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ Polstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist. Also muß es um etwas anderes gehen. Vielleicht um die Auswertung von $\begin{eqnarray*} x^n \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ ? Im Sinne von stetiger Ergänzbarkeit wäre das nämlich eine sinnvolle Fragestellung.

Jetzt verliere dich nicht weiter in Einzelheiten, sondern sag einfach, wie die Aufgabe lautet - und zwar die ganze!

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