rechts- und linksseitiger Grenzwert

29.10.2012, 16:33

Kathrin007

rechts- und linksseitiger Grenzwert

Meine Frage:
Hallo,

könnt ihr mir bei folgendem Beispiel weiterhelfen:

Bestimmen Sie ? falls existent ? den rechts- und linksseitigen Grenzwert an den Stellen x = 4 und x = -4. Ist die Funktion an den jeweiligen Stellen stetig? Skizzieren Sie den Graphen!

f(x) = (x-4)/(x²-16) für x <> +/-4
= 1/8 für x=4
= 0 für x=-4

Meine Ideen:
ist der Grenzwwert an der Stelle x=4 nicht 1/8 und für x=-4 0??
und an diesen Stellen stetig?

Bitte um Hilfe, ich steh da leider an.

29.10.2012, 16:37

Mazze

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Es ist $\begin{eqnarray*} x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \end{eqnarray*}$ nutze das aus und kürze. Das erleichtert die Grenzwerte.

29.10.2012, 16:51

Kathrin007

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Ok, danke!

Das ergibt 1/(x+4)

und wenn ich da x=4 und x=-4 einsetze komme ich wieder auf 1/8 und 0.
Stimmt das denn so?

29.10.2012, 16:55

Mazze

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Zitat:

Stimmt das denn so?

Nicht ganz, wenn Du x = -4 einsetzt, erhältst Du einen nicht definierten Ausdruck (erinnere dich daran das Division durch 0 nicht definiert ist).

Interessant für diese Aufgabe ist sowieso nur der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -4}\frac{1}{x + 4} \end{eqnarray*}$

allerdings solltest Du natürlich schon noch zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4}\frac{1}{x + 4} = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

ist.

29.10.2012, 17:10

Kathrin007

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Ok, das heißt der rechtsseitige Grenzwert ist 1/8 und linksseitig ist nicht existent (da 1/0)??

Ein zweites Beispiel, um zu sehen, ob ich das richtig verstanden habe:

Bestimmen Sie den links- und rechtsseitigen Grenzwert an den Stellen x=1 und x=0 von
f(x) = x² für x<1
und f(x) = -2x für x>= 1

linksseitig: lim(x->0) x² = 0

rechtsseitig: lim(x->1) -2x= -2

Grenzwert linkseitig 0, rechtsseitig -2
Funktion ist auch an den beiden Punkten stetig.

Passt das so?
Vielen Dank!

29.10.2012, 17:18

Mazze

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Zitat:

Ok, das heißt der rechtsseitige Grenzwert ist 1/8 und linksseitig ist nicht existent (da 1/0)??

Das ist keine Begründung, weder fürs erste noch fürs zweite.

Achte auf die wortwahl. Linksseitiger Grenzwert heißt , dass wir uns von Links dem Ziel nähern, rechtsseitiger Grenzwert von Rechts. Das bedeutet für die Aufgabe dass Du vier Grenzwerte betrachten musst.

links, rechtsseitigen Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4}\frac{1}{x + 4} \end{eqnarray*}$

und links- und rechtsseitigen Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -4}\frac{1}{x + 4} \end{eqnarray*}$

29.10.2012, 18:29

Kathrin007

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4}\frac{1}{x + 4} \end{eqnarray*}$
Kommt hier nicht 1/8 raus?

29.10.2012, 18:33

Mazze

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Zitat:

Kommt hier nicht 1/8 raus?

Doch, aber das muss auch begründet werden Augenzwinkern

. Die Begründung hier ist aber nicht schwierig. Da 1 und 4 konstant sind und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4}x = 4 \end{eqnarray*}$ ist, kannst Du mit den Grenzwertsätzen dann 1/8 folgern.

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