Betrag und Querung von komplexen Zahlen

29.10.2012, 18:23

Maisinator

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Betrag und Querung von komplexen Zahlen

Hallo,

ich habe zwei Fragen zu dem Betrag und der "Querung" von komplexen Zahlen.

1. Wenn ich $\begin{eqnarray*} | z_{1}+z_{2} |\leq | z_{1} | +| z_{2} | \end{eqnarray*}$ beweisen soll, ist das doch: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2} }\leq \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}+\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \end{eqnarray*}$

Nur wie gehe ich jetzt weiter vor?
Und wie würde ich $\begin{eqnarray*} | z_{1}*z_{2} | \end{eqnarray*}$ berechnen?

2. Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} z-quer= x-iy \end{eqnarray*}$ . Nur was gilt dann für z.B. ( $\begin{eqnarray*} z_{1}*z_{2} \end{eqnarray*}$ )-quer bzw. ( $\begin{eqnarray*} z_{1}+z_{2} \end{eqnarray*}$ )-quer?

Wäre echt super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!

29.10.2012, 19:13

Dopap

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RE: Betrag und Querung von komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Maisinator
k.) Und wie würde ich $\begin{eqnarray*} | z_{1}*z_{2} | \end{eqnarray*}$ berechnen?

2. Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} z-quer= x-iy \end{eqnarray*}$ . Nur was gilt dann für z.B. ( $\begin{eqnarray*} z_{1}*z_{2} \end{eqnarray*}$ )-quer bzw. ( $\begin{eqnarray*} z_{1}+z_{2} \end{eqnarray*}$ )-quer?

Querung nennt man die konjugiert Komplexe.

$\begin{eqnarray*} \overline z_1\cdot z_2 \end{eqnarray*}$ :

code:
1:	\overline z_1\cdot z_2

Aufgabe 1.) lass ich aus.

Nun zu k.) $\begin{eqnarray*} |z|=|z_1 \cdot z_2|= |(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)| \end{eqnarray*}$

ausmultiplizieren und ordnen. $\begin{eqnarray*} |z|= \sqrt{ RE(z)^2+IM(z)^2} \end{eqnarray*}$ berechnen. Das ist reine Schreibarbeit.

In Polarkoordinatendarstellung geht es etwas einfacher.

29.10.2012, 19:21

Leopold

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Ich würde zuerst

$\begin{eqnarray*} \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

zeigen. Das ist zwar auch etwas Schreibarbeit. Aber dann hat man schon einmal die Verträglichkeit der komplexen Konjugation mit der Multiplikation. Und damit kann man über die Definition

$\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}} \end{eqnarray*}$

relativ bequem die gewünschte Gleichung erhalten.

Deine Gleichung bei 1. ist eine Gleichung zwischen nichtnegativen (!) reellen Zahlen. Deswegen erhält man, wenn man sie quadriert, eine dazu äquivalente Gleichung.

Quadriere sie also und vereinfache sie durch weitere Äquivalenzumformungen, bis du auf eine bekannte Ungleichung stößt, die an eine bayrische Partei erinnert. Wenn du dir sicher bist, daß alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren, aber nur dann, ist mit der letzten Ungleichung auch die erste wahr.

29.10.2012, 20:01

Maisinator

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RE: Betrag und Querung von komplexen Zahlen
Danke soweit, hat mich aber bei 2. noch nicht wirklich weitergebracht.

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \overline{z_1*z_2} \end{eqnarray*}$ habe, würde ich das jetzt unter dem Strich ausmultiplizieren zu: $\begin{eqnarray*} \overline{x_1x_2+x_1iy_2+x_2iy_1-y_1y_2} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt noch "quere", erhalte ich dann: $\begin{eqnarray*} \overline{z_1*z_2}= x_1x_2-x_1iy_2-x_2iy_1-y_1y_2 \end{eqnarray*}$ ? Oder muss ich das letzte Vorzeichen auch noch umdrehen?

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} |z|=|z_1 \cdot z_2| \end{eqnarray*}$

Wieso das denn? Wie kann $\begin{eqnarray*} |z|=|z_1 \cdot z_2| \end{eqnarray*}$ sein?

29.10.2012, 20:29

Dopap

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RE: Betrag und Querung von komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Maisinator

Wieso das denn? Wie kann $\begin{eqnarray*} |z|=|z_1 \cdot z_2| \end{eqnarray*}$ sein?

Wie bei Leopold habe ich nur einen neuen Namen für das Produkt verwendet. Hier eben z
Ich hätte auch $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ oder p oder q nehmen können.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \overline{x_1x_2+x_1iy_2+x_2iy_1-y_1y_2} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt noch "quere", erhalte ich dann: $\begin{eqnarray*} \overline{z_1*z_2}= x_1x_2-x_1iy_2-x_2iy_1-y_1y_2 \end{eqnarray*}$ ?

Das ist schon richtig, aber nicht sortiert:

$\begin{eqnarray*} \overline z = \overline{z_1*z_2}= (x_1x_2 -y_1y_2) +i( -x_1y_2-x_2y_1 ) \end{eqnarray*}$

so sieht es etwas schöner aus.

30.10.2012, 10:28

Maisinator

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Zitat:

Original von Leopold
Deine Gleichung bei 1. ist eine Gleichung zwischen nichtnegativen (!) reellen Zahlen. Deswegen erhält man, wenn man sie quadriert, eine dazu äquivalente Gleichung.

Quadriere sie also und vereinfache sie durch weitere Äquivalenzumformungen, bis du auf eine bekannte Ungleichung stößt, die an eine bayrische Partei erinnert. Wenn du dir sicher bist, daß alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren, aber nur dann, ist mit der letzten Ungleichung auch die erste wahr.

Hab ich gemacht, jetzt bin ich bei $\begin{eqnarray*} 2x_1x_2y_1y_2\leq x_1^{2}y_2^{2}+x_{2}^{2}y_1^{2} \end{eqnarray*}$ . Ich weißt jetzt wirklich nicht mehr weiter...

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30.10.2012, 11:12

Leopold

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Du bist vermutlich zwischendrin auf die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ x_1 x_2 + y_1 y_2 \leq \sqrt{\left( {x_1}^2 + {y_1}^2 \right) \left( {x_2}^2 + {y_2}^2 \right)} \end{eqnarray*}$

gestoßen. So weit richtig. Hier ist das mit dem Quadrieren aber ein Problem, denn die linke Seite der Ungleichung kann negativ werden. Und daher können falsche Aussagen entstehen. Ein simples Beispiel:

$\begin{eqnarray*} -3 < 2 \ \ \text{wahr} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9 < 4 \ \ \text{falsch!} \end{eqnarray*}$

Quadrieren ist dann eine Äquivalenzumformung, wenn von vorneherein klar ist, daß die Seiten der Ungleichung nicht negativ werden können. Bei deiner Startungleichung war das der Fall, denn reelle Wurzeln sind definitionsgemäß nichtnegativ. Auf der rechten Seite der Ungleichung werden dann zwei nichtnegative Zahlen addiert, was wieder eine nichtnegative Zahl liefert. Dort war also Quadrieren erlaubt.

Hier ist das aber anders. Glücklicherweise läßt sich die Situation retten. Zeige nämlich in einer Nebenbehauptung die schärfere Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \text{(**)} \ \ \left| x_1 x_2 + y_1 y_2 \right| \leq \sqrt{\left( {x_1}^2 + {y_1}^2 \right) \left( {x_2}^2 + {y_2}^2 \right)} \end{eqnarray*}$

Wenn das gezeigt ist, kannst du folgendermaßen argumentieren: Wenn $\begin{eqnarray*} \text{(**)} \end{eqnarray*}$ wahr ist, dann erst recht auch $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ , denn für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} t \leq |t| \end{eqnarray*}$ .

Jetzt mußt du also noch $\begin{eqnarray*} \text{(**)} \end{eqnarray*}$ zeigen. Dabei kannst du die Ungleichung wieder quadrieren. Wegen $\begin{eqnarray*} |t|^2 = t^2 \end{eqnarray*}$ für reelle (!!!) $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kommst du schließlich wieder bei

$\begin{eqnarray*} 2 x_1 x_2 y_1 y_2 \leq {x_1}^2 {y_2}^2 + {x_2}^2 {y_1}^2 \end{eqnarray*}$

an. Und jetzt weißt du nicht mehr weiter. Da sage ich nur: alles auf eine Seite bringen und scharf hinschauen. Wie hießen noch einmal die drei Dingsbums da aus der Mittelstufenalgebra des Gymnasiums? Eines davon ist es ...

30.10.2012, 11:37

Maisinator

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Super, vielen Dank! Nur was eine binomische Formel mit einer bayrischen Partei zu tun?^^

30.10.2012, 11:47

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \text{(**)} \ \ \left| x_1 x_2 + y_1 y_2 \right| \leq \sqrt{\left( {x_1}^2 + {y_1}^2 \right) \left( {x_2}^2 + {y_2}^2 \right)} \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung hat einen Namen, die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Wenn sie bekannt ist, kann man sich auf sie berufen. Du hast also soeben nicht nur die Dreiecksungleichung, sondern in der Nebenbehauptung auch noch die CSU bewiesen.

30.10.2012, 11:53

Maisinator

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Jetzt häng ich doch wieder fest böse

böse

Wie löse ich denn jetzt bei der CSU-Gleichung die Betragsstriche auf?

30.10.2012, 11:54

Leopold

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Quadrieren! (Ist ja hier erlaubt.)

30.10.2012, 12:03

Maisinator

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Okay, ich hab jetzt $\begin{eqnarray*} 0\leq x_1y_2-x_2y_1 \end{eqnarray*}$ . Und damit hab ich bewiesen, dass die Dreiecksgleichung gilt?

30.10.2012, 12:19

Leopold

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Zitat:

Original von Maisinator
Okay, ich hab jetzt $\begin{eqnarray*} 0\leq x_1y_2-x_2y_1 \end{eqnarray*}$ . Und damit hab ich bewiesen, dass die Dreiecksgleichung gilt?

Nein, das stimmt nicht! Du hast zunächst nur

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \left( x_1 y_2 - x_2 y_1 \right)^2 \end{eqnarray*}$

bekommen. Und daraus folgt nicht das, was du behauptest. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 5, y_2 = 3 , x_2 = 4, y_1 = 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq 81 \ \ \text{wahr} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq -9 \ \ \text{falsch!} \end{eqnarray*}$

Du bist einen Schritt zu weit gegangen. Du warst schon am Ziel, ganz oben auf dem Berg an der Spitze mit Blick über die Alpen bis ans Mittelmeer. Warum hast du nicht einfach dein Vesper ausgepackt und stolz deinen Blick über das weite Land schweifen lassen? Niemand hat dich gezwungen, dich über den Abgrund in die Tiefe zu stürzen. Und jetzt hängst du da, im Dornengestrüpp verfangen, ein Fuß über dem Abgrund, der andere zwischen zwei Felsspalten eingeklemmt. Kein Handyempfang, um die Bergwacht zu rufen. Sieh selber zu, wie du da wieder herauskommst.

30.10.2012, 12:33

Maisinator

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Danke, das habe ich eben gerade selber bemerkt... Ich Trottel Hammer

Hammer

30.10.2012, 12:38

Leopold

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So geht die Argumentation:

Erstens:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \left( x_1 y_2 - x_2 y_1 \right)^2 \end{eqnarray*}$ ist immer wahr, denn Quadrate reeller Zahlen sind niemals negativ.

Zweitens:

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \text{(**)} \end{eqnarray*}$ , denn dazwischen waren alle Umformungen Äquivalenzumformungen.

Drittens:

Wenn $\begin{eqnarray*} \text{(**)} \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt erst recht $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ (Abschätzung nach unten).

Viertens:

Daraus folgt die Dreiecksungleichung, denn dazwischen waren alle Umformungen Äquivalenzumformungen.

Frage an dich: Ist dir klar, warum ich so auf dem Begriff "Äquivalenzumformungen" herumreite? Weißt du überhaupt, was das ist und warum es hier so darauf ankommt?

30.10.2012, 12:43

Maisinator

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Ja, das haben die uns zum Glück im Vorkurs erklärt. Bei einer Äquivalenzumformung kann man problemlos einen Schritt rückwärts gehen, was z.B. bei einer normalen Umformung (bsp. quadrieren) nicht geht, da das Ergebnis positiv wie negativ sein kann...

30.10.2012, 12:52

Leopold

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Na dann ist ja gut. Freude

Freude

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