Strukturverträglichkeit Homomorphismus zeigen

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resol Auf diesen Beitrag antworten »
Strukturverträglichkeit Homomorphismus zeigen
Hallo zusammen.

Ich bin seit Anfang September spannender Zuhörer der Vorlesung LA I, und habe ein großes Problem - ich kommte absolut nicht mit den Strukturverträglichkeitsbeweisen von Homomorphismen klar.

Dass allgemein gilt : erst abbilden, dann verknüpfen <=> erst verknüpfen, dann abbilden ist klar.

Ich weiß auch, was es zu zeigen gilt , ABER das Umformen bereitet mir totale Probleme.

Hättet ihr evtl. allgemein Tipps was das angeht, oder vielleicht hatte jemand das ähnliche Problem, und kann mir Tipps für die Herangehensweise geben ? Mein Tutor schafft das leider nicht.

Hoffe ihr könnt mir helfen.

Gruß !
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein gibt es kein Rezept, um zu zeigen, dass etwas ein Homomorphismus ist. Zumal Homomorphismen zwischen ganz verschiedenen Strukturen betrachtet werden können.

gib doch mal ein paar Beispiele an, zu denen Du Fragen hast.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Anfrage ist viel zu allgemein. Da hättest du beinahe auch sagen können: Helft mir, ich verstehe nichts. Was muß ich tun?

Ich würde vorschlagen, du bringst ein konkretes Beispiel, erklärst, wo du dabei Schwierigkeiten hast. Und dann sieht man, wie man dir helfen kann.
resol Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann leg ich mal los :

Auf unserem Übungsblatt soll man die Strukturverträglichkeit bezüglich der multiplikativen Verknüpfung des Ringhomomorphismus PsiG zeigen.

Folgendes ist gegeben :

PsiG : Z -> End (G) mit n -> pn
pn : G -> G mit g->g^n

klar ist, dass ich zeigen muss:

PsiG ( n*m) = PsiG(n) * PsiG(m)

mein nächster schritt wäre :

PsiG ( n*m) = pn * pm ( g) = g^n * g^m = g^( n+m)

wobei ich mier hierbei nichtmal sicher bin...

es wäre top, wenn ihr mir das, sofern es nicht zu viel Aufwand macht, Schritt für Schritt erklären könntet, und v.a. warum ihr was tut !

Dankeschön !!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

1. Bitte benutze LaTeX, oder wenigstens eine eindeutige Schreibweise (p_n statt pn!).

Zitat:
Original von resol
PsiG ( n*m) = PsiG(n) * PsiG(m)

2. Das ist nur ein Teil der zu zeigenden Aussage! Was muss ein Ringhomomorphismus noch alles erfüllen? s.u.

3. Wir sprechen hier von einem Homomorphismus, dessen Bildpunkte in einem Endomorphismenring liegen, d.h. jeweils selbst wieder Abbildungen sind. Gleichungen wie (für ) sind also Identitäten von Abbildungen. Zwei Abbildungen sind gleich, wenn sie für alle Elemente jeweils dasselbe Ergebnis liefern, d.h. man muss für alle prüfen, dass .

EDIT: Okay, ich sollte lesen lernen:
Zitat:
Original von resol
Auf unserem Übungsblatt soll man die Strukturverträglichkeit bezüglich der multiplikativen Verknüpfung des Ringhomomorphismus PsiG zeigen.
resol Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, herzliches dankeschön erstmal Augenzwinkern

Logisch, dass ich das für eine bestimmte Variable zeigen muss, denn ganz allgemein geht es nicht.

Also muss ich das ganze auf g anwenden.

Somit bin ich, wie du mir geschrieben hast schon so weit :

.

Wie mache ich aber nun hier weiter ?

?

Ich weiß ich stell mich hier echt blöd an, aber ich tu mir da echt schwer, vor allem da das im 1. Semester echt alles ziemlich neu und abstrakt eben ist.

Dankeschön !
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von resol
.

Ja, das ist zu zeigen.

Zitat:
Original von resol
?

Richtig. Wie lässt sich die linke Seite weiter schreiben?

Zitat:
Original von resol
Ich weiß ich stell mich hier echt blöd an, aber ich tu mir da echt schwer, vor allem da das im 1. Semester echt alles ziemlich neu und abstrakt eben ist.

Von blöd war nicht die Rede. Das das alles noch ungewohnt ist, stellt niemand in Abrede und ist gemeinhin bekannt. Augenzwinkern
resol Auf diesen Beitrag antworten »

Wie es weitergeht, ist ja das Problem. Ich könnte den Endomorphismus in s spiel bringen, aber ich weiß nicht, wie ich dadrauf g anwenden soll...

theoretisch also ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, es sollte einsichtig sein, dass wir irgendwann mal mit der konkreten Definition von arbeiten müssen. Wie ist denn die Verknüpfung erstmal für beliebige Endomorphismen definiert?
resol Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß leider nicht, was du von mir möchtest...

Sorry
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn ich hinschreibe, wobei Abbildungen sind, ist ja erstmal nicht so klar, was die Verknüpfung bedeuten soll. Wie definiert man sie denn (naheliegenderweise)?
resol Auf diesen Beitrag antworten »

mit dem Kringel Big Laugh

als äußere Verknüpfung.. ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von resol
als äußere Verknüpfung.. ?

Was meinst Du damit?
resol Auf diesen Beitrag antworten »

Bei uns im Skript wird das, wenn ich es richtig verstanden habe so definiert :

ich verknüpfe 2 Abbildungen, mit dem Kringel ( quasi ein Donut) der sich aber wie die Multiplikation verhält, nur dass er eben auf einer anderen Ebene ist.

Wenn ich auf einer Menge was verknüpfe, ist das entweder additiv oder multiplikativ, aber da Abbildungen ja auch nur Mengen sind die "bewegt" werden, haben wir das so definiert.

Wenn ich 2 Abbildungen verknüpfe, passiert das aber nicht in einer Menge, deshalb ist das eine äußere Verknüpfung...

Was du wahrscheinlich hören wolltest, bzw. mir zeigen wolltest, war dass ich die beiden Abbildungen durch die Multiplikation verknüpfe ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von resol
ich verknüpfe 2 Abbildungen, mit dem Kringel ( quasi ein Donut) der sich aber wie die Multiplikation verhält, nur dass er eben auf einer anderen Ebene ist.

Welches Symbol man nimmt, ist nicht einheitlich, immer auch kontextabhängig und mathematisch letztlich völlig irrelevant. Es sollte halt sprachlich irgendwie suggestiv sein.

Zitat:
Original von resol
Wenn ich auf einer Menge was verknüpfe, ist das entweder additiv oder multiplikativ, aber da Abbildungen ja auch nur Mengen sind die "bewegt" werden, haben wir das so definiert.

Das ist eine ziemlich unklare Aussage, bei der ich auch nicht weiß, was Du mir sagen möchtest.

Zitat:
Original von resol
Wenn ich 2 Abbildungen verknüpfe, passiert das aber nicht in einer Menge, deshalb ist das eine äußere Verknüpfung...

Der Begriff äußere Verknüpfung ist auch hier leider unklar. Aber davon abgesehen: Ja, wenn wir zwei Endomorphismen haben, dann ist jegliche Verknüpfung der Abbildungen natürlich nicht auf definiert, sondern auf dem Endomorphismenring. Die Verknüpfung ist eben eine Abbildung .

Zitat:
Original von resol
Was du wahrscheinlich hören wolltest, bzw. mir zeigen wolltest, war dass ich die beiden Abbildungen durch die Multiplikation verknüpfe ?

Ja, damit kommst Du der Sache näher. Augenzwinkern Deine Antwort ist wahrscheinlich richtig und daher schreib doch mal ganz konkret die Gleichung weiter auf:

Edit: Gemeint war für ...
resol Auf diesen Beitrag antworten »

f*g=g(f(g))
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zuallererst muss ich nochmal entschuldigen. Ich bin eindeutig zu lang wach, solche Todsünden wie zu vollbringen. Forum Kloppe Jetzt hast Du schonmal direkt gesehen, wie man's nicht macht.
Natürlich meinte ich für ein Gruppenelement .

Genau, die Multiplikation im Endomorphismenring ist die Komposition von Abbildungen, d.h. wir schreiben im folgenden .

Wir betrachten nun also . Das ist erstmal strikt nach Definition von was?
resol Auf diesen Beitrag antworten »



Wenn ich dich richtig verstehe, das vorher genannte :

Kein Ding, mir gehts genauso, weil ich an meinem Übungsblatt sitz,und gerade alles durcharbeite, und mich frag, ob das der Richtige Studiengang ist Big Laugh . auch wenn ich nur das Grundstudium habe ^^
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von resol


Nein, hiermit setzt Du im Prinzip schon das voraus, was überhaupt zu beweisen ist!

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Wir betrachten nun also . Das ist erstmal strikt nach Definition von was?
resol Auf diesen Beitrag antworten »

Dann weiß ich nicht , was du meinst, da das doch so definiert ist. Willst du mir nicht einen kleinen Anschubser geben, und die Umformung hinschreiben ?

Weil ich komme gerade auf keinen klaren Nenner....
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

?
?
resol Auf diesen Beitrag antworten »

Psi * m (g)

Ich bin glaub echt zu müde.

Ich krieg das heute wohl nicht mehr hin.

Großen Dank für deine HIlfe und die Zeit, die du dir genommen hast, werde aber jetzt wohl erstmal schlafen gehen. Ich schreibe morgen weiter hier - wäre top, wenn du mir da auch noch helfen könntest !!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von resol
Psi * m (g)

Ja, das habe ich oben geschrieben...aber wie geht es mit den beiden angedeuteten Gleichungen weiter? Augenzwinkern

Zitat:
Original von resol
Großen Dank für deine HIlfe und die Zeit, die du dir genommen hast, werde aber jetzt wohl erstmal schlafen gehen. Ich schreibe morgen weiter hier - wäre top, wenn du mir da auch noch helfen könntest !!

Gute Nacht und bis morgen. Augenzwinkern
resol Auf diesen Beitrag antworten »



Soweit besser ? Big Laugh Iwie war ich gestern neben der Kappe - der vorletzte Schritt von p_{n}^{m} zu p_{m}*p_{n} ist absehbar, ganz logisch jedoch nicht. bzw. folgt das immer aus der Definition die ich durch P_n gegeben habe ?

Gruß
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Darauf läuft es hinaus, aber Dein Aufschrieb weist noch Mängel auf:
1.) Der Ausdruck ergibt keinen Sinn.
2.) Du lässt in der Gleichungskette plötzlich das Argument fallen.
3.) Es gilt zwar , aber dennoch solltest Du die Reihenfolge bei der Umformung beibehalten, sprich schreiben.
resol Auf diesen Beitrag antworten »

1. Warum nicht ? Ich verstehe nicht, was nicht logisch daran ist ?

p_n ist definiert als g-> g^n.

-> P_n*m => g^g*m

2. Ja, das habe ich nur vergessen stehenzulassen...

3. Alles klar.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von resol
-> P_n*m => g^g*m

Auch hier weiß ich nicht, was Du damit sagen willst. unglücklich Was bedeutet der Pfeil ? Wo ist das auf der linken Seite? Wie sind hier Potenz und Multiplikation zu verstehen? Bei solchen Dingen muss man sehr genau sein.

Es gilt schlicht und einfach . Im rechten Term kommt die Funktionsauswertungsklammer nicht mehr vor! Du schreibst ja auch für einen Bildpunkt als und nicht oder ähnliches.

Bitte schreib nochmal eine verbesserte Version Deiner Umformungen auf.
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