Mengenlehre: Formulierungsschwierigkeiten bei Beweis

29.10.2012, 22:10

bla

Mengenlehre: Formulierungsschwierigkeiten bei Beweis

Meine Frage:
Hi,

eine Aufgabe meiner Übung lautet:

Bestimmen Sie alle Teilmengen G1, G2 und G3 von N, für welche folgende Aussagen wahr sind:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl}(\forall x \in G_1)(\forall y \in G_1) &:& x \neq y<br /> (\forall x \in G_2)(\exists y \in G_2) &:& x \geq y \wedge x \leq y<br /> (\exists y \in G_3)(\forall x \in G_3)(\exists z \in \mathbb N ) &:& x^2 = y + z<br /> \end{array} \end{eqnarray*}$

Begründen Sie ihre Antworten.
Es darf ohne Beweis verwendet werden, dass jede nichtleere Teilmenge A in N ein kleinstes Element besitzt.

Meine Ideen:
Mein erster Gedanke war, dass $\begin{eqnarray*} G_1 = \emptyset \end{eqnarray*}$ , jedoch weiß ich nicht genau, wie ich den Beweis dafür aufschreiben soll. Mein Ansatz hier ist

$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb N : x = x \end{eqnarray*}$

aber ich weiß nicht, was ich hier weiter schreiben soll.

Zu G2:

$\begin{eqnarray*} (x \geq y \wedge x \leq y) \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$

Auch hier wieder:

$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb N : x = x \end{eqnarray*}$

D.h. wenn x in G2 ist, dann gibt es auch ein Element, dass gleich x ist, nämlich x. D.h G2 ist eine beliebige Teilmenge von N. Da es nun heißt, wir sollen alle Teilmengen bestimmen, wäre meine Antwort
$\begin{eqnarray*} G_2 \in \mathcal P (\mathbb N) \end{eqnarray*}$ (mit P(n) als der Potenzmenge von N). Die leere Menge ist hier eingeschlossen, da alle Außsagen über Elemente der leeren Menge wahr sind.

Auch bei G3 vermute ich, dass es eine beliebige Teilmenge von N ist.
Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} x^2 = y + z \Leftrightarrow z = x^2 - y<br /> (v, w \in \mathbb N \wedge v \geq w) \Rightarrow v^2 - w \in \mathbb N \; (0 \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

D.h. wenn ich y als das kleinste Element in G3 wähle, kann ich ein beliebiges x aus G3 wählen und es gibt trotzdem immer ein z in N, dass die Bedingung erfüllt.

Ist das alles so richtig? Und wie bringe ich das in Textform?

30.10.2012, 17:31

Mazze

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Zitat:

Mein erster Gedanke war, dass $\begin{eqnarray*} G_1 = \emptyset \end{eqnarray*}$ ,

Sofern wirklich beim ersten $\begin{eqnarray*} x,y \in G_1 \end{eqnarray*}$ gilt hast Du recht! Der Beweis ist auch nicht schwer. Sei $\begin{eqnarray*} x \in G_1 \end{eqnarray*}$ dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} y \in G_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ . Damit kann aber die erste Aussage nur falsch sein. Damit muss also schon die Annahme $\begin{eqnarray*} x \in G_1 \end{eqnarray*}$ falsch sein. Damit ist G_1 die leere Menge. Logisch oder? Augenzwinkern

Zitat:

D.h. wenn x in G2 ist, dann gibt es auch ein Element, dass gleich x ist, nämlich x. D.h G2 ist eine beliebige Teilmenge von N. Da es nun heißt, wir sollen alle Teilmengen bestimmen, wäre meine Antwort $\begin{eqnarray*} G_2 \in \mathcal P (\mathbb N) \end{eqnarray*}$ (mit P(n) als der Potenzmenge von N). Die leere Menge ist hier eingeschlossen, da alle Außsagen über Elemente der leeren Menge wahr sind.

Sehr gut!

Zitat:

Auch bei G3 vermute ich, dass es eine beliebige Teilmenge von N ist.

Ja, da $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist geht das.

Zitat:

D.h. wenn ich y als das kleinste Element in G3 wähle, kann ich ein beliebiges x aus G3 wählen und es gibt trotzdem immer ein z in N, dass die Bedingung erfüllt.

Richtig!

Zitat:

Ist das alles so richtig? Und wie bringe ich das in Textform?

Das ist nicht mehr schwer. Es sei $\begin{eqnarray*} y \in G_3 \end{eqnarray*}$ das kleinste Element. Dann ist für alle $\begin{eqnarray*} x \in G_3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x^2 - y \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2 - y \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ . Setze also $\begin{eqnarray*} z = x^2 - y \end{eqnarray*}$ , dann gilt Aussage 3.

Dieser Teil steht und fällt damit, ob 0 zu den natürlichen zahlen gehört oder nicht. Wenn ihr die 0 nicht drin habt geht keine Menge, die die 1 enthält. Denn dann haben wir als kleinstes Element die 1 und erhalten für x = 1

$\begin{eqnarray*} 1 = 1 + z \end{eqnarray*}$

Wenn jetzt z nicht 0 sein darf, ist offensichtlich G_3 keine gültige Menge für Aussage 3.

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