e^(-x) Reihenentwicklung

29.10.2012, 23:03

Morphlyt

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e^(-x) Reihenentwicklung

Meine Frage:
Hallo,
ich versuche gerade vergeblich $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ in eine unendliche Reihe zu verwandeln. Weiß jemand, ob und wenn ja, wie das gehen könnte?!

Danke

Meine Ideen:
zum Ansatz: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{-x^{n}}{n!}=1-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}-... \end{eqnarray*}$

29.10.2012, 23:07

thechus

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Hey,

ich bin mir nicht 100% sicher, aber ich würde den Ansatz mit der Taylor-Entwicklung machen.

Edit: Gegen Unendlich laufen lassen ist nicht notwendig, wenn die gleich die Taylor-Entwicklung für die unendliche Reihe nimmst Hammer

Hammer

Gruß

29.10.2012, 23:51

RavenOnJ

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geht es darum die Potenzreihe für $\begin{align*} e^{-x} \end{align*}$ zu finden, oder zu beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^\infty \frac{(-x)^i}{i!} \end{eqnarray*}$
die Potenzreihe für $\begin{align*} e^{-x} \end{align*}$ ist?

Edit: natürlich beginnt die Reihe bei i = 0.

Gruß
Peter

30.10.2012, 08:29

Morphlyt

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Es ging eigentlich nur darum die Reihe zu finden! Und gibt es einen Grund, dass deine Summe erst bei 1 losgeht?

30.10.2012, 08:31

thechus

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Setz doch mal in die Formel für die Taylor-Entwixklung einn. Wähle dabei x0 = 0 und du siehst warum smile

smile

Gruß

30.10.2012, 08:36

Morphlyt

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Es kommt auf jeden Fall 1 heraus, wenn man fuer i = 0 einsetzt. Die Frage ist nur, ob 1 oder -1! Und wird e^-x bei der Reihenentwicklung alternierend?

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30.10.2012, 08:45

Mystic

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Zitat:

Original von Morphlyt
Es kommt auf jeden Fall 1 heraus, wenn man fuer i = 0 einsetzt.

Gut, dann hätten wir das mal geklärt... Freude

Freude

Zitat:

Original von Morphlyt
Die Frage ist nur, ob 1 oder -1!

Oh Gott, nein... Zu früh gefreut, neue Zweifel tun sich auf... geschockt

geschockt

Zitat:

Original von Morphlyt
Und wird e^-x bei der Reihenentwicklung alternierend?

Eigentlich schon...

30.10.2012, 11:03

Morphlyt

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Freut mich ja, dass du so viel Spaß hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wäre super, wenn du mal die ersten Glieder Reihe aufschreiben könntest.

30.10.2012, 11:39

Mystic

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Zitat:

Original von Morphlyt
Wäre super, wenn du mal die ersten Glieder Reihe aufschreiben könntest.

Naja, wie RavenOnJ oben schon angegeben hat, sieht die Reihe ja so aus

$\begin{eqnarray*} e^{-x}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

In "Pünktchen-Schreibweise" wäre das dann

$\begin{eqnarray*} e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 11:39

thechus

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Hey,

setz' $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ doch mal in die Formel:

$\begin{eqnarray*} T(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}f^{k}(x_{0})(x-x_{0})^{k} \end{eqnarray*}$

Setzt $\begin{eqnarray*} x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ und bilde einzeln die Summen für $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$

Wenn du noch unsicher bist versuche es erst mit $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$

Wird schon Freude

Freude

Gruß,
thechus

30.10.2012, 11:49

Morphlyt

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Also die Reihenentwicklung ist mir jetzt klar. Bleibt nur noch eine Frage. Für x > 3 bekomme ich bei Excel immer steigende Werte, obwohl die Reihe ja gegen 0 konvergieren müsste so wie $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ oder nicht? Dazu muss ich sagen, dass ich es nur mit einer endlichen Zahl an Gliedern probiert habe. Liegt es daran, oder habe ich noch einen Denkfehler?

30.10.2012, 11:58

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Morphlyt
Dazu muss ich sagen, dass ich es nur mit einer endlichen Zahl an Gliedern probiert habe. Liegt es daran, oder habe ich noch einen Denkfehler?

daran liegt es, die Reihe konvergiert nicht besonders schnell. Es kommt natürlich auch auf das x an.

Gruß
Peter

30.10.2012, 12:05

Morphlyt

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Alles klar, dann danke für all die Antworten smile

smile

30.10.2012, 13:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Morphlyt
Für x > 3 bekomme ich bei Excel immer steigende Werte

Mit dem "immer" ist das so eine Sache: Für $\begin{eqnarray*} n\geq x \end{eqnarray*}$ fallen sie auf jeden Fall wieder, wie man sich durch

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}} = \frac{x}{n+1} \end{eqnarray*}$

überzeugen kann.

30.10.2012, 14:15

Morphlyt

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Gut das mag sein, aber ist fuer meinen Anwendungsfall nicht praktizierbar. Ich werde mir noch was anderes ueberlegen muessen.

30.10.2012, 16:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Morphlyt
aber ist fuer meinen Anwendungsfall nicht praktizierbar

Wenn es um Numerik geht, dann musst du das auch sagen! Dann mag es etwa wegen Auslöschungseffekten günstiger sein, über $\begin{eqnarray*} e^{-x} = \frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$ zu rechnen.

30.10.2012, 16:45

Morphlyt

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Ich muss gestehen, dass ich mir selbst nicht ganz sicher war in welcher Kategorie es besser passt. Aber $\begin{eqnarray*} \frac {1}{e^{x}} \end{eqnarray*}$ ist genau, was ich jetzt nutzen werde. Da ist die Konvergenz auf jeden Fall ausreichend! Danke dir

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