Indexmenge - Distributivgesetz beweisen

30.10.2012, 08:31

Kallinski

Indexmenge - Distributivgesetz beweisen

Hey Leute,

ich habe eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme:

$\begin{eqnarray*} Seien~ X_{i}~ i\in I~ sowie ~ Y Mengen. \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} Y\cap \bigcup_{i\in I} X_{i} =\bigcup_{i\in I}(Y\cap X_{i}) \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie.

So, ich weiß, ich muss zeigen, dass ein Element welches in der linken Menge ist, auch in der rechten Menge ist.

Ich fange mal an von "links nach rechts"

$\begin{eqnarray*} Sei ~y \in Y\cap \bigcup_{i \in I}X_{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y\in Y \wedge y\in \bigcup_{i \in I}X_{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Gilt ~y \in Y so ~ auch~ y \in (Y\cap X_{i})\forall i~also~y\in\bigcup_{i\in I}~(Y\cap X_{i}) \end{eqnarray*}$

Nur jetzt weiß ich nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} Gilt ~y \in \bigcup_{i\in I} X_{i} \end{eqnarray*}$ ja... was folgt dann? Wenn es in der Vereinigung der Indexmenge liegt, heißt das ja nicht, dass es in jeder einzelnen Menge liegt verwirrt

Hier jedenfalls der Teil zu, von"rechts nach links"

$\begin{eqnarray*} Sei~y\in \bigcup_{ i \in I} (Y\cap X_{i})\\<br /> \\ \Rightarrow y\in Y\wedge y\in X_{i}~ \forall i \in I\\<br /> \\ Gilt~y \in Y, so ~auch ~y \in (Y \cap X_{i}) \forall i, ~ also ~y \in (Y \cap \bigcup_{ i \in I} X_{i})\\<br /> \\Gilt~ y \in X_{i}~ \forall i \in I,~ so~ auch ~ y\in Y, also~ y \in (Y \cap X_{i}\bigcup_{ i \in I} X_{i}) \end{eqnarray*}$

Mehr habe ich dazu leider nicht hingekriegt.

Bin für jeden Tipp sehr dankbar!

30.10.2012, 09:00

Kallinski

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Das doppelte X in der letzten Klammer gehört dort natürlich nicht hin

30.10.2012, 20:54

magic_hero

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RE: Indexmenge - Distributivgesetz beweisen

Zitat:

Original von Kallinski
Ich fange mal an von "links nach rechts"

$\begin{eqnarray*} Sei ~y \in Y\cap \bigcup_{i \in I}X_{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y\in Y \wedge y\in \bigcup_{i \in I}X_{i} \end{eqnarray*}$

Der Anfang ist gut.

Zitat:

Original von Kallinski
$\begin{eqnarray*} Gilt ~y \in Y so ~ auch~ y \in (Y\cap X_{i})\forall i~also~y\in\bigcup_{i\in I}~(Y\cap X_{i}) \end{eqnarray*}$

Da ist schon der erste Fehler. Einfaches Gegenbeispiel für zwei Mengen X_1 und X_2:
$\begin{eqnarray*} Sei ~y \in Y, y \in X_1, ~aber ~y \notin X_2.~ Dann~ ist ~y \in \bigcup_{i \in I}X_{i}, ~aber ~y \notin Y \cap X_2. ~Mit ~Sicherheit ~aber ~ist ~y \in \bigcup_{i\in I}~Y\cap X_{i}, ~da ~y \in Y \cap X_1. \end{eqnarray*}$

Du musst dir überlegen, was es bedeutet, wenn ein Element in der Vereinungen von Mengen ist bzw. dir die Definition dazu anschauen. Die lautet:
$\begin{eqnarray*} y\in \bigcup_{i \in I}X_{i} \Leftrightarrow \exists i \in I: y \in X_i \end{eqnarray*}$

Damit machst du dann dann der Stelle, wo ich sagte, dass der Anfang gut sei, weiter. Ebenso funktioniert das auch bei der anderen Inklusion.

01.11.2012, 15:54

Kallinski

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Ok Super, vielen Dank!

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