injektive Kurve / Einheitskreis

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wurzelminuseins Auf diesen Beitrag antworten »
injektive Kurve / Einheitskreis
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich suche eine injektive Kurve welche als Bild den Einheitskreis hat, jedoch soll deren Ableitung genau sieben Nullstellen besitzen.

Sitze nun schon eine ganze Weile an diesem Problem aber komme nicht wirklich weiter. Würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Meine Ideen:
Für das Intervall [0,1) kann ich die Kurve als c(t)=[cos(2pi*t),sin(2pi*t)] darstellen, aber damit hätte ich ja keine sieben Nullstellen in der Ableitung. Würde ich anstelle von 2pi was anderes nehmen, also z.B. 6pi ist die Kurve ja nicht mehr injektiv, aber ich hätte die geforderten Nullstellen.

Ist der Ansatz über eine Kurve in der oben angegebenen Form überhaupt möglich, habe das Gefühl das ich damit total auf dem Holzweg bin?

Vielleicht kann mir jemand einen Tip geben womit ich am besten Anfange.

Danke und viele Grüße.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist damit gemeint, wenn es heißt: Die Ableitung besitzt genau sieben Nullstellen. Soll das bedeuten, daß der Tangentialvektor der Kurve genau siebenmal der Nullvektor ist? Ich interpretiere das jetzt einmal so.

Man könnte mit



beginnen. Dann führt man einen Parameterwechsel



durch. An stellen wir die folgenden Anforderungen:

1. ist stetig differenzierbar und bildet das Intervall streng monoton wachsend auf sich ab.

2. hat im Innern von genau sechs Nullstellen und weiter ist

Wenn man so ein gefunden hat, dann hat dieses wegen



genau siebenmal den Nullvektor als Tangentialvektor.

Jetzt mußt du also ein mit 1. und 2. bestimmen. Skizziere einen möglichen Verlauf des Graphen der Funktion im Quadrat und finde eine passende Funktionsgleichung.

Den Vorgang habe ich in der angehängten Datei dynamisiert. Zum Öffnen der Datei verwende Euklid.
 
 
wurzelminuseins Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Schon mal Danke für die Antwort.

Also dann hätte ich für ist stetig differenzierbar und bildet das Intervall streng monoton wachsend auf sich ab, z.B. so etwas:



Das würde auch die Forderung erfüllen, nur hat noch zu wenige Nullstellen.

Ist das soweit richtig? Wie kann ich denn das mit den Nullstellen noch hinbiegen?
wurzelminuseins Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip müsste doch im Intervall mehrere Sattelpunkte haben, damit die Funktion monoton wachsend ist und die Ableitung genügend Nullstellen besitzt ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kommen wir der Sache näher. Sieben Sattelpunkte müssen es sein, wobei wir uns den am Anfang () und am Schluß () "als einen denken" (der Kreis schließt sich ja). Als Vorlage kann die Funktion



dienen. Es ist . Nullstellen von sind genau bei den ganzzahligen Vielfachen von . Also befinden sich dort Sattelpunkte, und ist insgesamt streng monoton wachsend. Wenn man daher die Funktion auf das Intervall einschränkt, wird eine Selbstabbildung von festgelegt:



ist bijektiv und besitzt genau die richtige Anzahl an Sattelpunkten. Für das gesuchte mußt du nur noch geeignet strecken, damit aus das Intervall wird.
wurzelminuseins Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann habe ich nun folgendes:

mit



Wegen ist streng monoton wachsend und nimmt im Intervall alle Werte von 0 bis 1 an (bijektiv). Damit ist eine injektive Kurve welche als Bild den Einheitskreis mit der Kurvenlänge hat.

Und die Ableitung der Kurve bzw. bildet genau dann auf den Nullvektor ab wenn eine Nullstelle besitzt, also für mit da nur dann und gleichzeitig 0 werden.

Stimmt das soweit?

Viele Grüße
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf die Berechnung von stimmt das.

Und noch ein Schreibfehler: Wenn du durch dividieren willst, mußt du Klammern setzen: oder die klassische Bruchschreibweise verwenden.
wurzelminuseins Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, hatte das einfach nur kopiert und eingefügt, hier auf dem Blatt habe ich es richtig.
Vielen Dank für deine Hilfe.
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