Ungleichung in R2

30.10.2012, 15:10

Kin

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Ungleichung in R2

Meine Frage:
Für die Uni hab ich eine Aufgabe, bei der ich mal so gar nicht weiß, wie ich anfangen soll. Die Frage lautet:

Für welche ( $\begin{eqnarray*} x, y \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^2 = \mathbb R \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} y^2 - 2y > x^2 + 2x \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Ich weiß ehrlich gesagt überhaupt nicht, wie ich anfangen soll...

Ich will gar keine fertige Lösung (würde ich eh nicht kriegen :-P) Ich will einfach nur gerne wissen, wie ich da an die Aufgabe überhaupt rangehen soll...

Jede Hilfe wäre top smile

smile

30.10.2012, 15:20

klarsoweit

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RE: FÜr welche x,y ist dies und das gültig (mir fällt kein guter Titel dafür ein)
Bring mal alles auf die linke Seite und schau mal, ob du den Term irgendwie faktorisieren kannst.

30.10.2012, 15:38

Kin

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RE: Für welche x,y ist dies und das gültig (mir fällt kein guter Titel dafür ein)
Okay... dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} y^2 - 2y - x^2 - 2x > 0 \end{eqnarray*}$

und dann faktorisiert:

$\begin{eqnarray*} 2y(\frac {1}{2} y - 1) - 2x(\frac {1}{2} x + 1) \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

Und was sagt mir das jetzt speziell für meine Aufgabe?^^

30.10.2012, 15:41

RavenOnJ

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es war gemeint, den gesamten Term zu faktorisieren, nicht einzelne Teile.

Gruß
Peter

30.10.2012, 15:43

mYthos

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EDIT: Mein Fehler!

30.10.2012, 15:44

Kin

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Puh, okay, dann lass mir mal n paar Minuten dafür Zeit...^^

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30.10.2012, 15:45

klarsoweit

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RE: Für welche x,y ist dies und das gültig (mir fällt kein guter Titel dafür ein)

Zitat:

Original von Kin
Okay... dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} y^2 - 2y - x^2 - 2x > 0 \end{eqnarray*}$

Ich sortiere das mal:

$\begin{eqnarray*} y^2 - x^2 - 2x - 2y > 0 \end{eqnarray*}$

Vorne wird man an eine binomische Formel erinnert und hinten läßt sich eine -2 ausklammern. smile

smile

30.10.2012, 15:58

Kin

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"Darf" ich denn einfach einen Teil des Terms faktorisieren?

Die anderen meinten ja, dass das nicht so gut wäre. Darum frag ich das mal lieber, bevor ich den Weg weiter verfolge^^

Bin mir aber auch nicht ganz sicher, wie ich den kompletten Term faktorisiere...

30.10.2012, 16:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kin
"Darf" ich denn einfach einen Teil des Terms faktorisieren?

Das Ziel ist natürlich, den ganzen Term zu faktorisieren. Mein Vorschlag führt dahin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2012, 16:03

mYthos

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Ich habe meinen Irrtum korrigiert. Von der Gleichung her wäre eine mittelpunktsverschobene Hyperbel zu erwarten gewesen, kein Kreis. In diesem Fall aber entartet sie zu zwei Geraden.

Deren Gleichungen ergeben sich auch durch die angesprochene Faktorisierung.
Die ersten zwei Summanden und die beiden letzten lassen sich, wie bereits geschrieben, leicht zerlegen ... nochmals bei klarsoweit nachlesen!

@klarsoweit
Ich sehe dich immer offline, dann bist du kurze Zeit online, dann wieder off. Spinnt da seit Neuestem etwas?

30.10.2012, 16:09

Kin

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Ah okay, ich glaube auch, dass ich da vorhin was missverstanden habe... Ich frag zur Sicherheit aber nochmal nach - sicher ist sicher...

Der einzige Term ist $\begin{eqnarray*} y^2 - 2y > x^2 + 2x \end{eqnarray*}$

Also erstmal umgeformt dann ja:

$\begin{eqnarray*} y^2 - x^2 - 2(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$

Binomische Formel wurde ja auch in den Raum geschmissen, das probier dann mal eben und meld mich gleich wieder^^ Falls meine Annahme von weiter oben im Post falsch sein sollte, bitte unterbrecht mich^^ ;-)

Nebenbei schonmal ein Dankeschön an die zahlreichen Hilfestellungen hier ;-)

30.10.2012, 16:18

Kin

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$\begin{eqnarray*} y^2 - x^2 - 2(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} (y-x)^2 - 2(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} y^2 - 2yx + x^2 - 2(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht doof angestellt habe...

Und mit dem Term mache ich jetzt was...?

nach x oder y umstellen?

Sorry, falls ich das offensichtliche übersehe...

30.10.2012, 16:27

Mulder

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unglücklich

$\begin{eqnarray*} y^2-x^2 \neq (y-x)^2 \, \, !!! \end{eqnarray*}$

Das ist dir doch selber klar, dass das nicht das selbe sein kann, schließlich hast du es im darauffolgenden Schritt ja wieder ausmultipliziert und da dann korrekt. Ist das nicht aufgefallen, dass du da klammheimlich die ganze Ungleichung komplett verändert hast?

Wobei ich nicht ganz verstehe, warum du überhaupt ans Ausmultiplizieren denkst, damit machst du doch die ganzen Bemühungen, zu faktorisieren, wieder rückgängig.

30.10.2012, 16:37

Kin

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Bam! Zielsicher als Idiot gebrandmarkt! Big Laugh

Big Laugh

Ne, du hast natürlich komplett Recht... Moment, das muss ich eben ausbessern -.-

... (Zeit vergeht) ...

$\begin{eqnarray*} yx(y - x) - 2(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 16:47

Mulder

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Zitat:

Original von Kin
$\begin{eqnarray*} yx(y - x) - 2(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$

Das ist ja noch schlimmer!

Magst du bitte mal die dritte binomische Formel nachschlagen? Sonst artet das hier ja in Ratespielchen aus.

30.10.2012, 16:50

Kin

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Ja, irgendwie komm ich da nicht mehr raus -.- Sorry, normalerweise bin ich nicht so dumm wie ich hier gerade rüberkomme...

$\begin{eqnarray*} (y + x) (y - x) - 2(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$

und das ist jetzt richtig...! Wenn nicht kann ich mir auch gleich ein Grab schaufeln...

30.10.2012, 16:51

Mulder

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Ja. Weiter geht's! Wir sind ja noch nicht fertig.

30.10.2012, 16:55

Kin

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Ja... fertig bin ich noch lange nicht hab ich das Gefühl^^

Was jetzt kommt weiß ich trotzdem nicht...

Ich mein, der Term ist doch jetzt faktorisiert... Nur weiß ich immer noch nicht, inwiefern mir das der Lösung näher bringt^^

30.10.2012, 16:58

Mulder

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Links steht nach wie vor eine Differenz. Wir wollen da aber doch ein Produkt haben.

Welcher Faktor kommt denn in beiden Termen vor? Den könnte man dann ja mal ausklammern.

Wir arbeiten hier wirklich nur mit den ganz elementaren Sachen. Binomische Formeln und Distributivgesetz.

30.10.2012, 17:12

Kin

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Ich werd auch nicht behaupten, dass mir das NICHT peinlich sei...^^

Aber ist der Ruf erst ruiniert... ;-)

$\begin{eqnarray*} (y + x) \end{eqnarray*}$ kommt mehrmals vor, $\begin{eqnarray*} (x + y) \end{eqnarray*}$ ist ja das selbe...

Darf ich dann aus $\begin{eqnarray*} (y + x) (y - x) - 2(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$ einfach
$\begin{eqnarray*} (y - x) - 3(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$ machen...?

30.10.2012, 17:24

Mulder

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Zitat:

Original von Kin
Darf ich dann aus $\begin{eqnarray*} (y + x) (y - x) - 2(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$ einfach
$\begin{eqnarray*} (y - x) - 3(x + y) > 0 \end{eqnarray*}$ machen...?

Was hast du denn jetzt gemacht? verwirrt

verwirrt

Wie lautet denn das Distributivgesetz?

30.10.2012, 17:42

Kin

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achja... man o man

eher $\begin{eqnarray*} (x(y - x) + y(y - x)) - 2(x + y) \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 17:55

Mulder

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Was soll uns das denn jetzt bringen? Nach wie vor haben wir links insgesamt kein Produkt stehen.

Naja, ich seh schon, das wird wohl nichts. Also, gemeint war:

$\begin{eqnarray*} (y-x)(y+x) - 2 (y+x) >0 \end{eqnarray*}$

Klammern wir nun den Faktor (x+y) aus, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (y+x) \cdot (y-x-2) > 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man sich halt nur überlegen, wann das erfüllt ist.

Damit das Produkt zweier Faktoren positiv ist, müssen entweder beide Faktoren positiv, oder beide Faktoren negativ sein.

30.10.2012, 18:04

Kin

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Ja...ich merk schon, ich werd noch einige Grundlage auffrischen müssen...

Vielen Dank, dass du so viel Geduld mit mir hattest... ;-)

Wenn ich dann die Lösung hab werd ich die hier mal posten... ;-)

30.10.2012, 21:54

Kin

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Ich mal wieder^^

kann es sein, dass $\begin{eqnarray*} (y+x)(y&#8722;x&#8722;2)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ gültig ist, wenn $\begin{eqnarray*} y>x+2 \end{eqnarray*}$ gilt?

ich muss ja nur dafür Sorge tragen, dass beide Faktoren entweder positiv oder negativ sind. Und wenn $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ immer größer als $\begin{eqnarray*} x + 2 \end{eqnarray*}$ ist, tritt immer einer der beiden Fälle ein.

Würde mich mal über ein Feedback über meine Lösung freuen ;-)

30.10.2012, 21:57

Kin

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Sorry für Doppelpost (tripplepost)

da ist eben nicht alles mitgekommen in dem beitrag...

in der ersten Zeile soll es natürlich $\begin{eqnarray*} (y + x) (y - x -2) > 0 \end{eqnarray*}$ heißen...

31.10.2012, 09:22

klarsoweit

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Immer Schritt für Schritt:
betrachte erstmal den Fall, daß beide Faktoren positiv sind. Was bedeutet das jeweils für die Faktoren? Wie läßt sich das im Koordinatensystem darstellen?

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