eulersche Zahl mit Grenzwerten

Neue Frage »

Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
eulersche Zahl mit Grenzwerten
Hi, hab grad wieder was über die eulersche Zahl gefunden und da sich jetz schon ein paar Fragen angesammelt haben, möcht ich die jetz hier mal stellen:

1. Mir ist bekannt, dass



Ich hab dann folgendes gefunden:



Wie kommt man darauf?


2. Philipp-ER hat mir gesagt, dass auch folgendes gilt:

Es sei eine Nullfolge, also





Er hat wohl auch einen 1-seitigen Beweis, allerdings wollte er den nicht abtippen (is ja auch verständlich). Kann mir jemand vielleicht zumindest Tipps geben, wie ich das aus der mir bekannten Definition schlussfolgern kann??

@Philipp-ER
Vielleicht findest du ja auch noch nen anderen Weg, mir das zukommen zu lassen. (Vielleicht kannst es ja einscannen??)


Übrigens: Gilt dann auch folgendes??



Wär zumindest ganz logisch.


3. Was ich heute gefunden habe, ist folgendes:



Hab dann versucht, das herzuleiten:









Ich hoffe, ich hab alles richtig gemacht mit dem Summen- und Produktzeichen, dass es auch das ergibt, was in der Klammer steht. Übrigens: Kann ich in das Produktzeichen mit rein nehmen?? Denn es geht ja irgendwie nich, das so darzustellen: . Der Zähler müsste 1 werden, das is klar. Die Faktoren werden aber erst kleiner, der letzte ist aber größer als n, also kann ich das nich so darstellen oder?
[PS: Wie geht das große PI (Produktzeichen) in Latex??]

Wenn ich mich nicht irre, dann ist



Dann müsste aber für alle i



sein, was ich stark bezweifle. Hab ich irgendwo nen Fehler gemacht??



Ich bin natürlich für jede Antwort dankbar!
Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Oh jeh!

Warum wartest du nicht einfach, bis diese Fragen auf der Uni auf dich zukommen!

Oder noch besser: Du schreibst, du wohnest in Berlin. In so einer Großstadt ist es doch nicht schwer, mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur nächsten Uni zu fahren. Hock dich doch einfach als stummer Gast in eine Mathevorlesung Analysis I, da kriegst du das alles mit.

Zur ersten Formel: Schreibe im Nenner statt n einfach (n/a)·a (a>0) und verwende das fünfte Potenzgesetz.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Oh jeh!

Warum wartest du nicht einfach, bis diese Fragen auf der Uni auf dich zukommen!

Kann ja nich wissen, dass das schon so "hoch" is smile .


Zitat:
Original von Leopold

Zur ersten Formel: Schreibe im Nenner statt n einfach (n/a)·a (a>0) und verwende das fünfte Potenzgesetz.


Danke! :]
*Gleich mal ausprobier*









Wenn man jetzt sagt:







Habe ich dabei jetz auch wirklich keinen anderen Satz verwandt??
Guevara Auf diesen Beitrag antworten »

Mal sehen was passiert wenn man das ableitet

wer häts gedacht, es ändet sich nicht beim ableiten. bis auf n-1 aber das spielt ja bei unendlich keine rolle.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guevara
Mal sehen was passiert wenn man das ableitet

wer häts gedacht, es ändet sich nicht beim ableiten. bis auf n-1 aber das spielt ja bei unendlich keine rolle.


Was willst du mir damit sagen??
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Guevara hat schon recht mit seiner Ableitung. Das Problem ist nur, daß ihr so tut, als ob der Limes überhaupt keine Rolle spielt.
In der Tat aber bedarf es einiger Überlegungen, die Differentiation unter einem Limes zu rechtfertigen (-> Analysis I/II, Universität).
Guevara Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist der Beweis für (e^x)' = e^x
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Guevara hat schon recht mit seiner Ableitung.


Zitat:
Original von Guevara
Das ist der Beweis für (e^x)' = e^x


Ja, du magst Recht haben. Aber eigentlich hab ich ja nich danach gefragt.
Übrigens habe ich schon öfters gesehen, auch bei anderen Sachen als der Differentiation, dass der Limes ziemlich missachtet wird.

@Leopold
Welche dieser drei Sachen, die ich gefragt habe, sind denn jetzt wirklich Uniniveau?
Und wenn kein fehler in meinem Ansatz ist, müsste dann nicht wirklich gelten



edit: Wenn wir dann doch schon bei der Ableitung sind:



Da umgeht man wenigstens das mit dem Grenzwert, denn mit Summenregel und Faktorregel wird:

Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich hab mir da nochmal was überlegt: wir hatten ja die folgende Gleichung:



Kann man jetzt sagen: Wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, dass dann z.B. das folgende Produkt gegen 1 geht:



Und zwar weil im Nenner ja doch nie die 3 kommt, sondern immer etwas mit n*(n-1)*...*(n-k), wobei k immer eine Konstante ist, denn n wird ja unvorstellbar riesig, also einfach unendlich und dadurch geht bei jedem noch so großen k dieses Produkt immer gegen 1??
Stimmt das so?


Übrigens habe ich gestern noch unglaublich viel über e gefunden, wie man die Ableitung noch herleiten kann, wie man herleiten kann, dass (1+1/n)^n gegen e geht, dann noch was mit komplexen Zahlen (eulersche Identität und Taylorreihen, was das auch immer sein mag) und noch ganz andere Dinge. Das fand ich gestern so fesselnd, also irgendwie unbeschreiblich interessant und faszinierend.
Mit meinem Mathespezialkurs kann ich Analysis I und Lineare Algebra I beim Studium auslassen, wenn meine Zensuren gut genug sind und wenn ich eine Besondere Lernleistung erbringe, und da habe ich mich jetzt entschieden, eine Facharbeit über e zu schreiben. smile

Also vielleicht könnt ihr mir ja mal alles aufschreiben, was ihr über e wisst, also nich irgendwelche großen Herleitungen, sondern z.B. sowas wie die beiden Grenzwerte oder Möglichkeiten, herzuleiten, dass diese Grenzwerte =2,718281828... sind oder dass die Ableitung = e^x = f(x) ist oder vielleicht irgendwas noch mit der eulerschen Identität und den Reihen von sin und cos usw. Dann könnt ich schonmal n bisschen sammeln. Wär sehr nett. :]
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mathespezialschueler,

bereits der strenge Grenzwertbegriff wurde in meiner Schule nur recht vage eingefuehrt. Ich haette mir damals nicht zugetraut, Zusammenhaenge der verschiedenen Definitionsmoeglichkeiten der Exponentialfunktion zu untersuchen. Wenn du da einen praeziseren Unterricht hast, freue ich mich fuer dich.

Die Fragen die du hier stellst, werden in (fast) jeder Analysis I oder Analysis II Vorlesung beantwortet. Leopolds Vorschlag, dich in diese Vorlesungen zu setzen, solltest du dir trotz deines Spezialkurses einmal ueberlegen. So lernst du auch ein wenig den Uni-Ablauf kennen.

Unbedingt empfehlen wuerde ich dir, ein gutes Analysis-Buch (oder besser mehrere) zu lesen. Ich kenne nur den Forster, der leider nur wenige Beispiele in seinem Buch hat, aber alle Saetze ausfuehrlich beweist.

Deine Annahme, beim Ableiten der unendlichen Reihe haettest du "das mit dem Grenzwert" umgangen, ist leider nicht gerechtfertigt, denn diese Reihe ist ja gerade der Grenzwert einer Partialsummenfolge. Es muesste also erst nachgewiesen werden, dass in diesem Fall die Ableitung der Grenzfunktionen tatsaechlich der Grenzwert der Ableitungen der Partialsummen ist. Die Partialsummen kannst du dabei problemlos summandenweise ableiten.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Tipps, shopgirl!! Ich werd mir mal überlegen, vielleicht wirklich in ein paar Vorlesungen zu gehen.

Zitat:
Original von Shopgirl

Unbedingt empfehlen wuerde ich dir, ein gutes Analysis-Buch (oder besser mehrere) zu lesen. Ich kenne nur den Forster, der leider nur wenige Beispiele in seinem Buch hat, aber alle Saetze ausfuehrlich beweist.


Aber sowas möcht ich ja auch nicht direkt! Ich möcht ja nich nur irgendwelche Sätze und die dazugehörigen Beweise runterrattern, sondern auch mal selbst was beweisen.
Vielleicht kennt ja auch jemand anders noch ein gutes Analysisbuch (vielleicht auch eins, womit ich Integralrechnung lernen/verstehen kann)?

Übrigens: Den Grenzwertbegriff im eigentlichen Sinne (also wirklich mit seiner Definition über epsilon-delta) habe ich ach noch nich verstanden. das müsste ich mir dann auch noch aneignen, aber ich glaub, mit nem Buch geht das nich so direkt. Genauso ist es noch mit Stetigkeit.

Da ich schon öfters den Begriff Taylorreihen gelsen habe: Ist das noch Schul- oder schon Unistoff?? Und ich hab grad gefunden, dass jede Funktion durch Reihenentwicklung auf Polynome zurückgeführt werden kann. Stimmt das? Das is ja auch schon wieder ziemlich interessant.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber sowas möcht ich ja auch nicht direkt! Ich möcht ja nich nur irgendwelche Sätze und die dazugehörigen Beweise runterrattern, sondern auch mal selbst was beweisen.
Vielleicht kennt ja auch jemand anders noch ein gutes Analysisbuch (vielleicht auch eins, womit ich Integralrechnung lernen/verstehen kann)?


Hallo MSS,

Forster hat auch ein dazugehoeriges Uebungsbuch herausgebracht, dass mit genuegend einfachen und interessanten Beispielen zum Selberbeweisen und Rechnen bespickt ist. Ausserdem habe ich auch noch diverse Uebungsaufgaben aus seiner Analysisvorlesung aufgehoben, die ich dir (wenn sie nicht sowieso im Netz stehen) zukommen lassen koennte. An Uebungsaufgaben, bei denen du selbst was beweisen kannst, wird es dir also nicht fehlen.

Ansonsten schliesse ich mich Leopolds Empfehlung an. Du kannst dir ja mal probeweise ein paar Vorlesungen anhoeren. smile

Liebe Gruesse,
Irrlicht
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja gut, ich könnt mir ja erstmal den Forster durchlesen, wenn ihr meint, dass der gut ist.
Ist das eigentich ein bekannter Mathematiker?? Und du warst auch mal in seinen Vorlesungen, also dein Dozent oder seh ich das falsch?
Und wenn du mir die Übugsaufgaben zuschicken könntest, wärs toll!
:] smile


edit: Wie is denn das bei euch so gelaufen?? Habt ihr auch nur manche Beweise geführt, die meisten (und wichtigsten) aber aus Büchern herausgelesen??
Wär es z.B. sehr hoch gegriffen, wenn man sagt, man möchte alles so ungefähr machen, wie es auch entdeckt wurde, also, dass man sozusagen alles so herleitet, wie es der gemacht hat, der es auch als erster gemacht hat (also geschichtlich mein ich) und somit auch sagt, ich will einen Großteil selbst beweisen?? Kann man vielleicht manches gar nicht beweisen, bzw. würde man zu lange dran rum sitzen, wenn man es so macht, wie eben beschrieben oder braucht man irgendwie beonders viel Erfahrung für viele Beweise oder wie sind da eure Erfahrungen???
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mathespezialschueler,

ich hatte Taylorreihen nicht in der Schule, aber als Unistoff sind sie sehr grundlegend.

Nicht jede Funktion laesst sich in eine Potenzreihe entwickeln. Eine Grundvoraussetzung ist, dass die Funktion unendlich oft differenzierbar ist, aber das ist noch nicht hinreichend.
Eine Funktion, die man um jeden Punkt in eine Potenzreihe entwickeln kann (und diese Potenzreihe ist dann die Taylorreihe!), nennt man eine analytische Funktion.

Die Exponentialfunktion ist ein Beispiel einer analytischen Funktion, wie auch cos und sin. Die kannst du also in Potenzreihen entwickeln, und die Taylorreihe der Exponentialfunktion kennst du bereits: Es ist die bekannte Reihendarstellung.Wenn du im Netz suchst, findest du jede Menge Seiten, mit denen du beginnen kannst. Englischkenntnisse sind dabei von Vorteil, aber nicht unbedingt noetig.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke shopgirl!!!

Zitat:
Original von Shopgirl
Hallo Mathespezialschueler,

ich hatte Taylorreihen nicht in der Schule, aber als Unistoff sind sie sehr grundlegend.

Nicht jede Funktion laesst sich in eine Potenzreihe entwickeln. Eine Grundvoraussetzung ist, dass die Funktion unendlich oft differenzierbar ist, aber das ist noch nicht hinreichend.
Eine Funktion, die man um jeden Punkt in eine Potenzreihe entwickeln kann (und diese Potenzreihe ist dann die Taylorreihe!), nennt man eine analytische Funktion.


Du hast wahrscheinlich editiert, aber eben stand da noch was von holomorph und ins Komplexe übertragen. Das mit dem ins Komplexe übertragen hab ich im matheboard-lexikon gefunden.
Aber was is denn holomorph??
Shopgirl Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mathespezialschueler,

ja, ich hielt den Satz ueber den Zusammenhang zur Holomorphie fuer zu hoch smile
Du findest hier eine Definition, die dir aber vermutlich wenig nuetzen wird:
http://matheboard.de/lexikon/index.php/Holomorphie

Dazu brauchst du naemlich den Begriff "komplex differenzierbar", und soweit ich das jetzt sehe, beschaeftigt sich der Lexikon-Eintrag ueber's Differenzieren nur mit reellen Funktionen. Fuer die komplexe Differenzierbarkeit verwendest du wie im reellen den Differentialquotienten, nur dass der Grenzuebergang "x -> x0" aus jeder komplexen Richtung stattfinden darf.

Wenn du wirklich wissen willst, wie ein Satz erstmals bewiesen wurde, dann hast du manchmal eine lange Suche vor dir, denn oft gibt es inzwischen kuerzere, elegantere Beweise, die gelehrt werden, so dass man den urspruenglichen Beweis nur noch in Bibliotheken in den alten Buechern findet.
Einige Saetze kann man auch gar nicht allein beweisen - jedenfalls nicht mit den heutigen Mitteln - weil die kuerzesten bekannten Beweise hunderte von Seiten lang sind. Populaerstes Beispiel ist der "Klassifikationssatz fuer endliche einfache Gruppen" aus der Algebra, an dem etwa 100 Mathematiker in einem Zeitraum von 30 Jahren gearbeitet haben, und der Beweis ist etwa 15.000 Seiten lang.

Auch wurde frueher - je nach Fachgebiet vor unterschiedlich langer Zeit - eine ganz andere Fachsprache verwendet, so dass du dir erstmal die Begriffe der damaligen Zeit aneignen muesstest. (Hab z.B. vor einiger Zeit in einem mathematischen Journal von vor 100 Jahren geblaettert, da heisst die Vervollstaendigung eines metrischen Raumes noch "derivierter Raum", und den Begriff "metrischer Raum" selbst gab es noch gar nicht.)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shopgirl
Hallo Mathespezialschueler,

...

Dazu brauchst du naemlich den Begriff "komplex differenzierbar", und soweit ich das jetzt sehe, beschaeftigt sich der Lexikon-Eintrag ueber's Differenzieren nur mit reellen Funktionen. Fuer die komplexe Differenzierbarkeit verwendest du wie im reellen den Differentialquotienten, nur dass der Grenzuebergang "x -> x0" aus jeder komplexen Richtung stattfinden darf.


Ich glaub, es entsteht ein falscher Eindruck über mein Wissen bei dir. :P Mit komplexen Zahlen habe ich mich bis jetzt sehr wenig beschäftigt, ich hab zwar gesagt, dass ich die eulersche Identität schon kenne, hab aber eigentlich bis jetzt auch nur schon die Gleichung gesehen. Ich wollts halt nur in die Facharbeit mit reinnehmen, weil ich die komplexen Zahlen nächstes Jahr im Unterricht schon haben werde. Die Facharbeit muss ich dann auch erst in der 12. schreiben. Also am besten ich warte einfach noch n bisschen oder ich hol mir mal das Buch und lese es mir mal durch.

PS: Du musst nich immer Mathespezialschueler schreiben! Kannst auch einfach MSS schreiben, machen schon ziemlich viele hier! Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetz noch 2-3 Fragen offen:

Zur Taylorreihe:

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Also, ich hab mir da nochmal was überlegt: wir hatten ja die folgende Gleichung:



Kann man jetzt sagen: Wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, dass dann z.B. das folgende Produkt gegen 1 geht:



Und zwar weil im Nenner ja doch nie die 3 kommt, sondern immer etwas mit n*(n-1)*...*(n-k), wobei k immer eine Konstante ist, denn n wird ja unvorstellbar riesig, also einfach unendlich und dadurch geht bei jedem noch so großen k dieses Produkt immer gegen 1??
Stimmt das so?


Hab ich das so richtig gemacht??


@Irrlicht

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Ist das eigentich ein bekannter Mathematiker?? Und du warst auch mal in seinen Vorlesungen, also dein Dozent oder seh ich das falsch?
Und wenn du mir die Übugsaufgaben zuschicken könntest, wärs toll!
:] smile



@all
Wie teuer ist denn eigentlich der Forster???
Und zu den Vorlesungen: Kann ich da einfach reingehen und mich dahin setzen?? Eigentlich ist es dochfür die Studenten und ich hab gehört, dass die Vorlesungen voll genug sind, ich will ja keinem sein Studium "wegnehmen". Außerdem wie groß ist die Chance, dass ich, wenn ich in Analysis I sitze, wirklich was zu e gehört bekomm??

Freu mich auf die Antworten!
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo MSS,

Ja, Herr Prof. Forster war mein Dozent in Analysis, Funktionentheorie und Zahlentheorie. Und ja, er macht und weiss enorm viel. Augenzwinkern
Schick mir mal deine e-Mail-Addy per PN oder schick mir einfach eine e-Mail, dann schick ich dir ein paar Aufgaben.

Du nimmst sicherlich keinem Studenten den Studienplatz weg. Hoechstens den Stuhl, wenn zu wenige da sind. Aber das passiert wenn eh nur in der ersten Woche, weil gegebenenfalls auf einen grösseren Hörsaal gewechselt wird. Ausserdem kann mindestens die Hälfte von den Studenten, die da im ersten Semester drin sitzen nicht mal ein Polynom ableiten. Solchen Studenten darfst du gerne den Sitzplatz stehlen (hast meine Erlaubnis). Augenzwinkern

Die Chance, dass dir e in der Analysis I-Vorlesung über den Weg läuft ist 100%. Und du erfährst da weit mehr als in den Schulbüchern darüber steht.

Liebe Grüsse,
Irrlicht
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Irrlicht! Was heißt, denn "enorm viel"?? Hat er irgendwie noch mehr Wissen als ein normaler Dozent?? Kann man noch mehr studieren, also gibts noch n Extra- bzw. längeres Studium als das "normale"??

Ich werd dir dann ne Mail schicken, wenn meine Adresse eigentlich auch direkt in meinem Profil steht, aber egal. Danke für die Aufgaben!! :]

Zitat:
Original von Irrlicht

Ausserdem kann mindestens die Hälfte von den Studenten, die da im ersten Semester drin sitzen nicht mal ein Polynom ableiten. Solchen Studenten darfst du gerne den Sitzplatz stehlen (hast meine Erlaubnis). Augenzwinkern


Is das wirklich so krass??? Wer zum Himmel studiert denn Mathematik, wenn er kein Polynom ableiten kann?? Dann kann er doch in der Schule auch nich so gute Noten gehabt haben. verwirrt

Zitat:
Original von Irrlicht

Solchen Studenten darfst du gerne den Sitzplatz stehlen (hast meine Erlaubnis). Augenzwinkern


Na wenn das so is. Kann ich dich dann ja vorschieben, ich hätte die Erlaubnis von einer sehr guten Mathestudentin. *g*

Zitat:
Original von Irrlicht

Die Chance, dass dir e in der Analysis I-Vorlesung über den Weg läuft ist 100%. Und du erfährst da weit mehr als in den Schulbüchern darüber steht.


Dass die Chance so groß is, hätt ich nich gedacht. Ne Scherz beiseite, aber ich denk mal es geht dann nich immer um das gleiche Thema oder um das, was ich haben will, aber is ja egal. Ich kann ja nur zusätzlich lernen *g* smile
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man in dem Alter so wissbegierig sein ? Als
ich 16 war hab ich meine Ausbildung angefangen und
wusste nicht einmal das es überhaupt ein Wort "Polynom"
überhaupt gibt. (Nich das das gut wäre smile

Was wirst du denn in 5 Jahren lernen ? Bin ja mal
sehr gespannt. Hoffentlich gibts dann das Matheboard
immernoch : ))
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BraiNFrosT
Wie kann man in dem Alter so wissbegierig sein ? Als
ich 16 war hab ich meine Ausbildung angefangen und
wusste nicht einmal das es überhaupt ein Wort "Polynom"
überhaupt gibt. (Nich das das gut wäre smile

Was wirst du denn in 5 Jahren lernen ? Bin ja mal
sehr gespannt. Hoffentlich gibts dann das Matheboard
immernoch : ))


Ich kann ja nich auf der Stelle kleben bleiben *g*

Ich hab grad noch n paar tolle Grenzwerte für e gefunden:







Ich musste die 2 als Faktor davor ziehen, da ich nich wüsste, wie ich ein Produkt für k von k=1 bis 0,5 ausführen sollte. Damit das richtige rauskommt, hätte man zwar dann für k 0,5 einsetzen müssen, aber ich weiß nich, ob das dann korrekt wär. Is ja auch egal.

Ich find die alle drei ziemlich interessant. Dagegen ist die ursprüngliche Form (1 + 1/n)^n ja schon ziemlich langweilig geweorden *g*.

Übrigens: Es hat mich überrascht, dass die Mathematik gar nicht "stehen bleibt". Soweit ich weiß, wurden in den letzten Jahren noch viele Dinge "entdeckt" (vor allem Wahrscheinlichkeitsrechnung, (ich glaub auch) Erweiterung der komplexen Zahlen), aber es is ja schon ziemlich erstaunlich, dass der zweite Grenzwert erst 1975 entdeckt wurde! Gibts noch so viele Dinge, die heute noch entdeckt werden?

edit: Hab grad den Beweis für Keller's Expression gefunden (danke an SirJective!! :]):

Zitat:
Original von SirJective (auch Mitarbeiter bei wikipedia!!)
http://de.wikipedia.org/math/c4e294b76845d5b200a66aadb399ec8c.png
Beweis: Für http://de.wikipedia.org/math/d3a3154c093175197f6594a7db2f1b2f.png gilt
http://de.wikipedia.org/math/5f22a0da809e14246efd12cb1c59d6e6.png
http://de.wikipedia.org/math/32c20a5a9980eda0aef85f40b902caac.png
Somit ist
http://de.wikipedia.org/math/f341877de510b366134b1134103d00cb.png
http://de.wikipedia.org/math/391032fcf8cb7337e6dbf0cc2b9f0ba1.png
http://de.wikipedia.org/math/282db85118275fe092ce166d38214172.png


Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Eulersche_Zahl

Dazu 2 Fragen:
1. Was ist O??
2.

http://de.wikipedia.org/math/32c20a5a9980eda0aef85f40b902caac.png

Das erste Gleichheitszeichen is klar, aber das zweite nicht!? verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

g(n) = O(f(n)) schreibt man, wenn der Quotient |g(n)/f(n)| für n gegen Unendlich beschränkt bleibt.

Beim ersten Mal wurde die Logarithmusreihe verwendet (|x|<1):



Setzt man speziell x=1/n (n>1), so erhält man



Und hier werden die Glieder ab dem dritten Summanden mit dem Landauschen Symbol abgekürzt, da es später auf das genaue Aussehen nicht ankommt, sondern nur auf die Tatsache, daß man eine Reihe hat, deren erster Summand mit beginnt, wobei dann nur noch Glieder folgen, die noch schneller gegen 0 streben für n gegen Unendlich.

Zur 2. Frage: Den Ausdruck in die Potenzreihe der Exponentialfunktion einsetzen.
Hanno Auf diesen Beitrag antworten »

Du (MSS) hat's gut, du kannst wenigstens zu ner Uni gehen in Berlin :-) Ich wohne in so einem kleinen Kaff von 200 Seelen :-D Du wirst später bestimmt mal prof :-)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold!

Übrigens hab ich mal nach dem Buch geguckt. Viele rezensionen bezeichnen dieses Buch als ungeeignet für "Anfänger".

Dagegen soll folgendes Buch sehr gut für "Anfänger" sein:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=1065

Kennt ihr das vielleicht auch?? Die Beschreibung sieht ja ganz vielversprechend aus!?

shopgirl hat ja gesagt, ich solle wenn möglich mehrere lesen, wären die beiden ok oder sind sie sich zu ähnlich??


edit: Ich hab noch folgendes Buch gefunden:

http://www.amazon.de/exec/obidos/ASIN/3507839342/qid=1089974959/sr=1-15/ref=sr_1_10_15/302-3565829-8972827

Ich weiß von den Büchern der 9. und 10. Klasse, dass sie sehr gut sind!!! Ist das da vielleicht auch gut für mich oder denkt ihr, der Stoff is da vielleicht nur das, was ich schon kann??
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
...Wenn man jetzt sagt:







Habe ich dabei jetz auch wirklich keinen anderen Satz verwandt??

Hi.
Hier liegt der Grund, warum man das bisher nicht als einen wirklichen Beweis bezeichnen kann. Man muss die von dir aufgestellte Behauptung nämlich erstmal noch sauber begründen (also dass man einfach a*n durch z ersetzen darf). Du findest das zum Beispiel im Lehrbuch der Analysis, Teil 1, von Heuser. Ihr habt in Berlin doch sicher eine tolle Bibliothek, da kannst du dir den doch auch einfach mal ausleihen und feststellen, ob er dir gefällt.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Den Heuser kann ich auch nur empfehlen.

"Kann Forster mehr als andere Dozenten?" Es gibt nicht DEN Dozenten mit DEM Wissensstand. Sie können i.d.R. alle was anderes und alle wohl auch verschieden viel. Häufig kann auch ein durchschnittlicher Student nicht beurteilen "wie viel ein Dozent kann", sondern höchstens, ob er gut erklären kann (was aber schonmal viel wert ist). Forster ist aber durch sein Lehrbuch (bzw. Bücher) natürlich einer der berühmteren Mathematiker dieser Tage (zumindest im deutschsprachigen Raum).

Zur Mathematik, die nicht stehen bleibt: Was meinst du, was die ganzen Profs und sonstigen wiss. Mitarbeiter an der Uni machen? Die sind dort zum Lehren UND FORSCHEN. Sprich: Mathematik betreiben, die (zumindest in der Form) noch nicht bekannt ist (das kann jedoch auch in Anwendungen bestehen).

Gruß vom Ben
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »