Lösungsmöglichkeiten bei linearer Gleichung mit Parameter

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mathimatik Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmöglichkeiten bei linearer Gleichung mit Parameter
Edit (mY+): Unzureichende Überschrift modifiziert.

Meine Frage:
Hallo,

Zeigen Sie, dass die Lösungsmenge der Gleichung ax+by=c für Parameter a,b,c Element der Reellenzahlen und für (x,y)Element der R^2 entweder die leere Menge, ganz R^2 oder eine Gerade ist.

Meine Ideen:
Also soweit ich weiß, muss ich Fallunterscheidungen machen(ich glaube 8) aber ich hab gar keine Ahnung in bezug auf was???
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

In Bezug auf Null ... (mit 8 dürfte es hinkommen)

mY+
mathimatik Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber was setzte ich gleich 0? a,b,c oder x und y ?
ich weiß nicht so recht wie ich anfangen soll!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung ist nach x,y aufzulösen, daran wird jetzt nichts geändert. Also werden nur a, b, c entsprechend zu modifizieren sein.

Gehe nun alle mögliche Fälle durch:

1. a = 0, die beiden anderen ungleich Null
2. ..
3. ..
4. a = 0, b = 0, c <> 0
5. ..
6. ..
7. a = b = c = 0
8. a, b, c alle ungleich Null
mathimatik Auf diesen Beitrag antworten »

Also zu 7. kann ich ja sagen, das es nicht die Definition der Geraden erfüllt, da x,y(0.0).

Ich bin da immer noch am überlegen welchen Schluss ich z.B. hieraus zeihen soll:

1. a=0, die beiden anderen ungleich Null

0x+by=c => y=c/b Was sagt mir dieses Ergebnis???
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

7.
(0; 0) ist viel zu wenig. Welche Lösungsmenge hat denn die Gleichung

0*x + 0*y = 0 ?

1.
y = c/b = const <-- Das ist doch auch eine lineare Funktion. Wie sieht deren Graph aus?
 
 
mathimatik Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich glaube die Lösungsmenge von 7. ist R^2 und wie der Graph aussieht kann ich ja nicht sagen, weil ich nicht weiß welche zahlen ich dem c und b zuordnen soll und auf welcher Achse ich sie einzeichnen soll.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

7. ist ok.

Und bei 1. sind b und c beliebige Zahlen ungleich Null, daher ist auch der Quotient bestimmt. Nehmen wir mal zum Test 3 an. Also wie sieht der Graph von

y = 3

aus? Und genau so wird der Graph auch bei 4, 5 und jeder anderen Zahl aussehen.
Schaue nochmals nach, was eigentlich gefragt ist: Es kommen nur 3 Antworten in Betracht: R², leere Menge und Gerade.
mathimatik Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht so recht wie ich den Graphen bestimmen soll, aber ich kann mit sicherheit sagen, dass die lösungsmenge aus dem Raum R^2 kommt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmals:
Es kommen nur 3 Antworten in Betracht: R², leere Menge und Gerade.

Was wird die Gleichung y = 3 (y = c/b) wohl beschreiben?
Hinweis: Zu JEDEM x-Wert gibt es auch einen y-Wert, und dieser ist 3 (d. h. bestimmt)
Ausserdem ist die Gleichung linear - bereits diese Eigenschaft kennzeichnet die in Frage kommende Antwort.

mY+
mathimatik Auf diesen Beitrag antworten »

Ich soll auch die Parameterform angeben.
Sie beschreibt eine Gerade, aber ist es damit gezeigt?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, damit ist es (für diesen einen Fall von 8) gezeigt.

Zum wiederholten Male: Schaue auf die Angabe. Dort steht erstens nichts von einer Parameterform (das ist eine andere Geschichte) und zweitens gibt's nur eine Antwort von den 3 Möglichkeiten.

Jetzt noch die anderen Fälle, sonst wird das eine never ending story!
mathimatik Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also das gleiche gilt dann ja auch für
b=0 und a,b ungleich 0

aber hier weiß ich so recht nicht weiter, wenn a und b ungleich 0 sind und c gleich 0 muss ich dann x und y auf einer seite haben , oder ist das einfach die leere menge, weils man irgendwie nicht lesen kann?

ax+by=0 =>ax=-by
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, diese Gleichung ist doch ebenso eine ganz normale lineare Gleichung in x, y.
Dass "zufällig" c = 0 ist, ändert nichts daran.

ax + by = 0 kann auch zu y = -(a/b)x umgeformt werden. Vergleiche dies mit y = kx ... (allg. y = kx + d)
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