erneut zwei Ungleichungen

30.10.2012, 17:46

wurzelgnomius

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erneut zwei Ungleichungen

Hallo, bei der letzten Aufgabe hab ich mich ja zu spät zurück gemeldet sry deswegen^^ Nun hab ich zwei neue Aufgaben:

1. $\begin{eqnarray*} |2x+1|>3 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \frac{8-|2x|}{3-x}\geq 0 \end{eqnarray*}$

Bei 1. :

F1:
$\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+1>3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$
F2:
$\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(2x+1)>3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>-2 \end{eqnarray*}$

Hab ich das so richtig verstanden? Man schaut sich immer das an was in den Betragsstrichen steht?

Bei 2. :

Ohne 3 natürlich:

F1:
$\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8-2x }{3-x}\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3-x} - \frac{2x}{3-x} \geq 0 \end{eqnarray*}$

dann mit (3-x) multiplizieren:
$\begin{eqnarray*} 4\geq x \end{eqnarray*}$

F2:
Hier dann eben mit
$\begin{eqnarray*} \frac{8+2x}{3-x} \geq 0 \end{eqnarray*}$
Und dann wieder das übliche.

Stimmt das bis jetzt so??

30.10.2012, 18:28

chris_78

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RE: erneut zwei Ungleichungen
Grundsätzlich ist Dein Ansatz schon mal ok, mit den Fallunterscheidungen.
Allerdings gilt dass bei 1. in F1 nicht für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ sondern für
$\begin{eqnarray*} 2x+1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ also für $\begin{eqnarray*} x \geq -0,5 \end{eqnarray*}$
und F2 dementsprechend $\begin{eqnarray*} x < -0,5 \end{eqnarray*}$
Desweiteren musst Du beachten, dass wenn Du bei einer Ungleichung mit einem negativen Wert multiplizierst (oder dividierst) sich das > oder < jeweils umkehrt.
Außerdem musst Du am Ende auch noch die Lösungsmenge bestimmen.
Du bekommst ja Lösungen für die Fälle raus und hast ja zuvor festgelegt für welche x das gelten soll (bei 1. F2 z.B nun $\begin{eqnarray*} x < -0,5 \end{eqnarray*}$ )
Versuch es doch mit diesen Infos nochmal.

30.10.2012, 18:32

mYthos

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RE: erneut zwei Ungleichungen

Zitat:

Original von wurzelgnomius
...
Man schaut sich immer das an was in den Betragsstrichen steht?
...

Sehr richtig. Und warum ist bei dir bei (1) die Stelle bei der Fallunterscheidung 0 anstatt-1/2?

2.
Falsch.
Auch für den Nenner gibt es eine Fallunterscheidung! Was passiert, wenn x > 3 ist?

mY+

30.10.2012, 19:15

wurzelgnomius

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Hallo, danke für die Hilfe smile

smile

Ahh dann so:

Bei 1:

1. $\begin{eqnarray*} 2x+1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} 2x+1 > 3 \end{eqnarray*}$

Ergibt eben:

$\begin{eqnarray*} x \geq -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

Also zwischen minus einhalb und eins.

Für Fall 2 dann:

$\begin{eqnarray*} x < -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x > -2 \end{eqnarray*}$

Also zwischen minus einhalb und minus 2

??
smile

smile

Gruß

30.10.2012, 19:31

chris_78

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Für $\begin{eqnarray*} x \geq -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
bekommst Du als Lösung
$\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$
Wieso folgerst Du daraus?

Zitat:

Original von wurzelgnomius
Also zwischen minus einhalb und eins.

x muss doch beide Ungleichungen erfüllen. Welche x -Werte tun das?

Zum 2. Fall verweise ich mal auf meine Erklärungen bzgl. multiplizieren/dividieren mit einem negativen Wert bei Ungleichungen.

30.10.2012, 20:13

wurzelgnomius

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uhhm ok tut mir leid chris smile

smile

Danke

Also für die erste Ungleichung kommt dann beim ersten Fall raus:

Für größer gleich 0
$\begin{eqnarray*} x \geq -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und
Für größer 3
$\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} L_{1}= [-\frac{1}{2};1[ \end{eqnarray*}$

Für kleiner 0 :

$\begin{eqnarray*} x < -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

und größer 3:

$\begin{eqnarray*} x < -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_{3}= ]-2;-\frac{1}{2}[ \end{eqnarray*}$

??

Gruß

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30.10.2012, 20:45

chris_78

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Das mit der Fallunterscheidung scheint wohl immer noch nicht ganz klar.
Da ist nichts mit größer oder kleiner 0.

Für Deine 1. Aufgabe betrachtest Du 2 Fälle.
Nämlich einmal den Fall F1, dass $\begin{eqnarray*} 2x+1 \geq 0 \end{eqnarray*}$ was umgeformt zu $\begin{eqnarray*} x \geq -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ führt.
Und F2, dass $\begin{eqnarray*} 2x+1<0 \end{eqnarray*}$ was zu $\begin{eqnarray*} x< -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ führt.

Du unterscheidest also Deine Fälle danach, ob der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen negativ wird oder nicht.

Im Fall F1 lautet unsere zu lösende Ungleichung dann $\begin{eqnarray*} 2x+1 > 3 \end{eqnarray*}$
und im Fall F2 lautet sie $\begin{eqnarray*} -(2x+1) > 3 \end{eqnarray*}$

Daraus erhälst Du für F1 und F2 jeweils Lösungen.
F1: x>1
F2: x<-2

Nun musst man noch beachten, dass die Lösung von F1 laut Voraussetzung ja nur für $\begin{eqnarray*} x \geq -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gilt
und die von F2 nur für $\begin{eqnarray*} x<-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ingesamt ergibt sich dann also was als Lösungsmenge?

30.10.2012, 21:00

wurzelgnomius

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Meinst du die Vereinigungsmenge??

30.10.2012, 21:23

chris_78

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Ja Vereinigungsmenge der Lösungsmengen von F1 und F2 ist gesucht.
Allerdings musst Du erstmal die Lösungsmenge von F1 und F2 bestimmen und das geschieht da jeweils über die Schnittmenge.
Bei F1 die Schnittmenge von $\begin{eqnarray*} x \geq -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 21:32

wurzelgnomius

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hm bei F1 größer als 1??

30.10.2012, 21:34

chris_78

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Genau

Freude

Und weiter?

30.10.2012, 21:45

wurzelgnomius

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D.h. Bei F1 ist LM

$\begin{eqnarray*} L_{1}= \left\{ x|x\geq 1\right\} \end{eqnarray*}$

Und bei F2:

$\begin{eqnarray*} L_{2}= \left\{ x|x\leq -2 \right\} \end{eqnarray*}$

??

30.10.2012, 21:50

chris_78

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Warum jetzt auf einmal $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ ?

Echt größer bei F1 und auch echt kleiner bei F2

Und nun noch die Vereinigungsmenge von beiden

30.10.2012, 22:01

wurzelgnomius

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Ja weil bei F1 fängt die Schnittmenge doch schon bei 1 an oder??
Ok lassen wir das jetzt mit der Vereinungsmenge Big Laugh

Big Laugh

Ich versuch mal die nächste(falls du noch Zeit hast Big Laugh

Big Laugh

) :

1F:
$\begin{eqnarray*} 2x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8-2x}{3-x}\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3-x}\geq \frac{2x}{3-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \leq x \end{eqnarray*}$

2F:
$\begin{eqnarray*} -4 \geq x \end{eqnarray*}$

Und dann wieder LM und VM, stimmt das so oder muss ich wegen dem Bruch noch irgend etwas beachten verwirrt

verwirrt

wurde oben schon angedeutet)
Gruß

31.10.2012, 06:57

chris_78

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Zur Schnittmenge bei Aufagbe 1 F1. Da steht doch klar und deutlich x>1
Das bedeutet eben auch nur Werte die größer als 1 sind. Und somit wäre x=1 eben nicht Teil der Menge.

Zur 2. Aufgabe:
Wir unterscheiden auch hier wieder, ob der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen negativ wird oder nicht, soweit schon mal ok.

F1 gilt für $\begin{eqnarray*} 2x \geq 0 \end{eqnarray*}$
also für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$

Nun kommt in der Tat aufgrund des x im Nenner des Bruches noch etwas hinzu.
Denn bei Deinen Äquivalenzumformungen multiplizierst Du ja in einem der Schritte mit dem Nenner des Bruches (3-x). Du weißt ja mittlerweile, was multiplizieren mit einem negativen Wert für eine Auswirkung hat bei einer Ungleichung? Da der Nenner 3-x lautet, kann der Nenner, abhängig von x, aber sowohl postiv, als auch negativ werden.
Es ist also an dieser Stelle eine weitere Fallunterscheidung angesagt, einmal für den Fall dass $\begin{eqnarray*} 3-x>0 \end{eqnarray*}$ und einmal dass $\begin{eqnarray*} 3-x< 0 \end{eqnarray*}$ .
In diesem Fall auch echt größer, denn bei 3-x=0 hätten wir ja eine Division durch 0, die nicht erlaubt ist.

31.10.2012, 19:24

wurzelgnomius

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Hallo

Freude

Ok:

1F: $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3-x} \geq \frac{2x}{3-x} \end{eqnarray*}$

1.1F: $\begin{eqnarray*} 3-x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \geq x \end{eqnarray*}$

1.2F:
$\begin{eqnarray*} 4\leq x \end{eqnarray*}$

2F: $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{8}{3-x} \geq -\frac{2x}{3-x} \end{eqnarray*}$

2.1F: $\begin{eqnarray*} 3-x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4 \geq x \end{eqnarray*}$

2.2F: $\begin{eqnarray*} 3-x < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4 \leq x \end{eqnarray*}$

Wenn das richtig ist, wie ist das dann mit der Lösungsmenge? verwirrt

verwirrt

Gruß

01.11.2012, 01:18

chris_78

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Lösung für Fall 1.1 und 1.2 kann ich bestätigen.
Bei 2. ist Dein Relationszeichen jeweils verkehrt rum. Vermutlich hast Du nicht beachtet, dass im letzten Schritt ja durch -2 geteilt wird (also einen negativen Wert).
Um zur Lösungsmenge zu gelangen, würde ich erstmal für jeden der 4 Fälle einzeln schauen (Schnittmenge) und dann daraus die Gesamtlösungsmenge (Vereinigungsmenge) bilden.
Bei 1.1 haben wir doch:
Lösung $\begin{eqnarray*} 4 \geq x \end{eqnarray*}$
gültig für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 3-x > 0 \end{eqnarray*}$ (dies vielleicht erstmal noch nach x umstellen)

Für welche x trifft das alles zu (Schnittmenge)?

Genauso dann die anderen 3Fälle ansehen

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