Vollständige Induktion Produkt? :S

30.10.2012, 18:06

Yama

Vollständige Induktion Produkt? :S

Ich soll die folgende Aussage beweisen.
Für jede natürliche Zahl n >= 2 soll gelten:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=2}^n (1-\frac{1}{k} ) =\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Nun fängt mein problem schon an wie geht es überhaupt los?

Ich dachte mir ich stelle mal die Annahme A(n) auf, sodass ich für das k ein n einsetze,
dann erhalte ich nachher ja 1/n = 1/n richtig?

Dann soll hierauf ja die Annahme A(n+1) erfolgen soweit ich weiß. also:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=2}^{n+1} (1-\frac{1}{n+1} ) \end{eqnarray*}$

Dann umformen:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=2}^{n+1} (1-\frac{1}{n+1} ) = \prod\limits_{k=2}^n (1-\frac{1}{k}) * (1-\frac{1}{k+1}) \end{eqnarray*}$

Und dann kann ich doch für
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=2}^n (1-\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ einsetzen?.

Daraus würde ja dann folgen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} *(1-\frac{1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

Und hier komme ich gerade irgendwie nicht weiter, da ich bezweifle dass das überhaupt der richtige weg ist :S

Ich bitte um Hilfe :/

30.10.2012, 19:15

klauss

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RE: Vollständige Induktion Produkt? :S
Die Gleichung ist zunächst für das kleinste n (= 2) zu verankern.
Danach ist
$\begin{eqnarray*} <br /> \prod\limits_{k=2}^{n+1} (1- \frac{1}{k})=\frac{1}{n+1} <br /> \end{eqnarray*}$
zu zeigen, wobei von der zu beweisenden Gleichung als Voraussetzung Gebrauch gemacht werden kann.
Das k in der Produktformel bleibt also unverändert.

30.10.2012, 19:29

RavenOnJ

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sollst du vollständige Induktion benutzen? Ansonsten kannst du einfach die Summanden in dem Produkt auf einen Hauptnenner bringen und das Produkt von Quotienten als Quotient von Produkten umformen.

Gruß
Peter

30.10.2012, 19:30

Yama

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Leider kann ich dir gar nicht folgen Klauss :/. Und ja ich soll das mittels vollständiger Induktion zeigen

Lg

30.10.2012, 19:41

MadCookieMonster

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Hey,
ein kleiner Tipp, wenn du ab einem gewissen Schritt nicht mehr weiterkommst. Überlege dir, was du am Ende da stehen haben möchtest und versuche die Formel dann mit gültigen Schritten zu dem zu erweitern, was du momentan vorliegen hast.
Allerdings solltest du dann hinterher prüfen, ob der Rechnenweg auch in die andere Richtung gültig ist. smile

Edit:
Du bist schon auf einem sehr guten Weg, hast nur einfach aufgehört.
Multipliziere deinen Term doch einfach mal aus und gucke, wie du das Ganze vereinfachen kannst Augenzwinkern

Ich hoffe, ich konnte ein wenig helfen smile

MCM

30.10.2012, 19:55

klauss

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Mit Induktion ist das eine recht leichte Übung. Nur die wesentlichen Schritte, die ich ganz knapp angesprochen habe, müssen klar sein. Falls es da Probleme gibt, kann gern jemand übernehmen, da ich jetzt weg muß.

30.10.2012, 20:44

Yama

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Wenn ich das ausrechne komme ich auf -(1/n^2+1) das stimmt aber scheinbar nicht. Oder hab ich jetzt bei den grundrechenarten grandios versagt :/

30.10.2012, 20:50

MadCookieMonster

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Da scheint irgendwo etwas schief gelaufen zu sein.
Schreibe mal deine Zwischenschritte hier auf, dann kann man deinen Fehler sicher finden.

MCM

30.10.2012, 21:03

Yama

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Wenn ich die Induktionsvorrausetzung einsetze habe ich dort doch stehen
(1/n) * (1- (1/n+1)). Oder nicht ? Daraus folgt das doch ?
Ich entschuldige mich für die fehlende Formatierung aber ich schreibe vom Handy aus.

Scheint ich hab gerade echt nen Brett vorm Kopf ...

30.10.2012, 21:06

MadCookieMonster

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Ja das ist völlig richtig.
Nun multiplizier das Ganze aus und bring alles auf einen Nenner.
Dann solltest du es eigentlich sehen! smile

MCM

30.10.2012, 21:34

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Yama
Wenn ich das ausrechne komme ich auf -(1/n^2+1) das stimmt aber scheinbar nicht. Oder hab ich jetzt bei den grundrechenarten grandios versagt :/

Es kommt wirklich 1/n raus.

Gruß
Peter

30.10.2012, 21:39

Yama

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Wenn ich das ausmultipliziere steht dort 1/n - 1/(n^2 + n) richtig ? Ich Blick gerade nicht mehr wie ich das jetzt auf einen gemeinsamen Nenner bringe und es vereinfache... Nicht mein Tag heute :/

30.10.2012, 21:47

MadCookieMonster

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Lass das ganze mal in der Form
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} -\frac{1}{n*(n+1)} \end{eqnarray*}$

Um das auf einen Nenner zu bringen erweiterst du deinen linken Bruch um

$\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$

Dann hast du:

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n*(n+1)} -\frac{1}{n*(n+1)} \end{eqnarray*}$

Das jetzt zusammenhiehen.

Jetzt sollte es aber klar sein smile

MCM

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