Eigenwert und Eigenraum

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martin85 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert und Eigenraum
Hallo,
ich habe die folgende Matrix
aus
Ich soll jetzt alle Eigenwerte und eine Basis jeden Eigenraums angeben. Da ich aus gesundheilichen Gründen in der letzten Woche die Vorlesungen nicht besuchen konnte, habe ich eine Wissenslücke. Kann mir da jemand sagen, wie das geht?
Wenn ich es aus dem Buch richtig verstanden habe, geht das irgendwie über Diagonalen. Aber ich verstehe nicht wie.
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne die Nullstellen von:

.

dann hast du die Eigenwerte.
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Sei t Eigenwert der Matrix M und E die Einheitsmatrix

Zur Eigenwertbestimmung musst du folgende Gleichung lösen:



Zur Bestimmung des Eigenraums zum jeweiligen Eigenwert t von M musst du den Kern der Matrix bestimmen, der aus allen Vektoren besteht, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß Björn
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch berechnen... die ist äquivalent. Die ist meistens einfacher.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Immer diese Doppelposts....einmal reicht doch.....dann kann ein Moderator von mir aus meinen Post löschen...danke smile

Gruß Björn
martin85 Auf diesen Beitrag antworten »

ok das wäre ja dann so:

Und wie löse ich nun diese Gleichung?
Schreibe ich dann z.B. für die erste Zeile das so

?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du mußt hier die Determinante einer Matrix bestimmen. Und so, wie du das machst, geht das nicht.

Bestimme erstmal

EDIT: etwas Kummer macht mir die Angabe "aus ". Habe jetzt keine Idee, was damit gemeint ist.
martin85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich jetzt nur wie ich das bestimme:
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

simple Matrizenumformungen, sprich:

Wie wird eine Matrix mit einem Skalar multipliziert?
Wie werden 2 Matrizen subtrahiert?
martin85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Skalar wird mit jeder Zahl der Matrix multipliziert.
Für die Einheitsmatrix wäre das dann

Aber wie zwei Matrizen subtrahiert werden, weiß ich nicht.
uwe-b Auf diesen Beitrag antworten »

Sie werden jeweils die Einträge subtrahiert...
martin85 Auf diesen Beitrag antworten »

dann müsste es so sein:

Oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
EDIT: etwas Kummer macht mir die Angabe "aus ". Habe jetzt keine Idee, was damit gemeint ist.


Wahrscheinlich soll man nur rationale Eigenwerte betrachten und reelle bzw komplexe außer Acht lassen bzw ausschließen, falls solche denn auftreten sollten.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von martin85
dann müsste es so sein:

Oder?

OK. Davon jetzt die Determinante ausrechnen. das gibt ein Polynom 3. Grades. davon dann die Nullstellen bestimmen.
martin85 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Determinante löse, kommt folgendes raus:


Alles zusammengefasst ergibt:


Und an dieser Stelle komme ich nicht mehr weiter.
pflaume Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz oben steht diese Matrix:
aus

Die erste Zeile, letzter Wert ist eine . Aber in den weiteren Rechnung wurde daraus eine , anstatt .

Daraus wurde dann diese




Wenn die Aufgabenstellung richtig ist, dann müsste die Determinantengleichung so heißen:




Sorry, aber du musst die Determinante nochmal neu ausrechnen.


EDIT: Ich bekomme folgendes Charakteristisches Polynom raus:
.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pflaume
Ganz oben steht diese Matrix:
aus

Die erste Zeile, letzter Wert ist eine . Aber in den weiteren Rechnung wurde daraus eine , anstatt .

Sowas ärgerliches. geschockt Das habe ich glatt übersehen.

Zitat:
Original von pflaume
EDIT: Ich bekomme folgendes Charakteristisches Polynom raus:
.

Und ich habe raus:


Eine wirklich vertrackte Matrix. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Darauf kam ich dann auch....und dann macht das mit dem Körper Q auch Sinn, da eine ganze Zahl und zwei reelle Zahlen als Eigenwert rauskommen.

Gruß Björn
martin85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt folgendes raus:

Mal davon abgesehen das jeder etwas anderes rausbekommt habe ich folgende Frage: Wie löse ich die Gleichung mit Lambda 3. Grades?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also rechnen wir mal:









Ab Polynomen 3. Grades ist es meistens so, daß man eine Nullstelle rät und durch anschließende Polynomdivision den Grad reduziert.

Und ein Plot ist da auch recht hilfreich:

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