identische Äquivalenzrelation beweisen

30.10.2012, 19:56

Alonushka

identische Äquivalenzrelation beweisen

Hallo=)
ich hoffe sehr, dass mir jemand helfen kann, sonst bin ich ganz verloren...=(
ich muss Folgendes zeigen:
[(a,b)]+[(c,d)] = [(a',b')]+[(c',d')]
[(a,b)]*[(c,d)] = [(a',b')]*[(c',d')]

ich habe gar keine Ideen.......

30.10.2012, 20:09

Leopold

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RE: identische Äquivalenzrelation beweisen

Zitat:

Original von Alonushka
ich habe gar keine Ideen.......

Wir auch nicht.
Besonders nicht davon, was du mit [a,b] und so weiter meinst.

Du kannst nicht nur die letzten zwei Zeilen einer Aufgabe abschreiben, sondern mußt uns die gesamte Aufgabe mitteilen. Und wenn sie sich auf Vereinbarungen aus der Vorlesung bezieht, dann brauchen wir auch von diesen Kenntnis.

30.10.2012, 20:35

Alonushka

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RE: identische Äquivalenzrelation beweisen
Auf $\begin{eqnarray*} N_0 \times N_0 \end{eqnarray*}$ sei eine Äquivalenzfunktion
$\begin{eqnarray*} (a,b)\sim(a',b')<=>a+b'=a'+b \end{eqnarray*}$
gegeben. Weiter seien Verknüpfungen "+" und " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ "auf den Äquivalenzklassen definiert durch
$\begin{eqnarray*} [(a,b)]+[(c,d)] := [(a+c,b+d)] \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} [(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)] \end{eqnarray*}$ eigen Sie die Wohldefiniertheit dieser Verknüpfungen, d.h., Sie mssen zeigen:
Ist $\begin{eqnarray*} (a,b)\sim(a',b') \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c,d)\sim(c',d') \end{eqnarray*}$ , so ist
$\begin{eqnarray*} [(a,b)]+[(c,d)] = [(a',b')]+[(c',d')] \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} [(a,b)]\cdot[(c,d)] = [(a',b')]\cdot[(c',d')] \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 20:55

Leopold

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Aha! Jetzt weiß man mindestens, worum es geht.

Die Hilfe ist nicht ganz geschickt formuliert. Denn du mußt etwa bei der Plusbeziehung zeigen:

$\begin{eqnarray*} [(a+c,b+d)] = [(a'+c',b'+d')] \end{eqnarray*}$

Du mußt also zeigen, daß $\begin{eqnarray*} (a+c,b+d) \sim (a'+c',b'+d') \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} (a,b) \sim (a',b') \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c,d) \sim (c',d') \end{eqnarray*}$ ist.

Wann aber solche Paare natürlicher Zahlen äquivalent sind, hast du ja ganz zu Anfang geschrieben. Überprüfe, ob das stimmt.

30.10.2012, 21:06

Alonushka

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heißt das, dass ich zeigen muss, dass diese Relation
$\begin{eqnarray*} (a,b)\sim(a',b') \end{eqnarray*}$
reflexiv, symmetrisch und transitiv ist ?
und wäre das dann automatich äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} a+b'=a'+b \end{eqnarray*}$ ?

30.10.2012, 21:12

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Du mußt also zeigen, daß $\begin{eqnarray*} (a+c,b+d) \sim (a'+c',b'+d') \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} (a,b) \sim (a',b') \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c,d) \sim (c',d') \end{eqnarray*}$ ist.

Nennen wir die Dinge ein bißchen um, vielleicht fällt es dir dann leichter:

$\begin{eqnarray*} (\underbrace{a+c}_u,\underbrace{b+d}_v) \sim (\underbrace{a'+c'}_{u'},\underbrace{b'+d')}_{v'} \end{eqnarray*}$

Das mußt du zeigen. Nach Definition ist das aber dann und nur dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} u+v' = u'+v \end{eqnarray*}$ gilt? Und, gilt das? (Beachte, daß du weißt, das $\begin{eqnarray*} (a,b) \sim (a',b') \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c,d) \sim (c',d') \end{eqnarray*}$ gilt.)

30.10.2012, 21:22

Alonushka

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Zitat:

Original von Leopold
[quote]Original von Leopold

Nennen wir die Dinge ein bißchen um, vielleicht fällt es dir dann leichter:

$\begin{eqnarray*} (\underbrace{a+c}_u,\underbrace{b+d}_v) \sim (\underbrace{a'+c'}_{u'},\underbrace{b'+d')}_{v'} \end{eqnarray*}$

Das mußt du zeigen.

also muss ich dochzeigen,dass diese Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist ?

30.10.2012, 21:29

Leopold

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Nein, du mußt zeigen, daß die Addition und die Multiplikation wohldefiniert sind, daß also die Definition nicht von der speziellen Wahl der Repräsentanten der Äquivalenzklasse abhängt. Daß es sich hier um eine Äquivalenzrelation handelt, wird unterstellt. Entweder habt ihr das im Unterricht schon gezeigt oder es war in einer Voraufgabe zu erledigen (oder es versteht sich "von selbst"). Auf jeden Fall ist es nicht Teil dieser Aufgabe. Komm also nicht mehr mit reflexiv, symmetrisch und transitiv. Der Zug ist längst abgefahren. Wir sind schon Meilen weiter.

30.10.2012, 21:34

Alonushka

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ok...und wie soll ich das anstellen ?

30.10.2012, 21:37

Leopold

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RE: identische Äquivalenzrelation beweisen

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} (\underbrace{a+c}_u,\underbrace{b+d}_v) \sim (\underbrace{a'+c'}_{u'},\underbrace{b'+d')}_{v'} \end{eqnarray*}$

Das mußt du zeigen. Nach Definition ist das aber dann und nur dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} u+v' = u'+v \end{eqnarray*}$ gilt? Und, gilt das? (Beachte, daß du weißt, das $\begin{eqnarray*} (a,b) \sim (a',b') \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c,d) \sim (c',d') \end{eqnarray*}$ gilt.)

Überprüfe, ob $\begin{eqnarray*} u+v' = u'+v \end{eqnarray*}$ gilt. Glaube einfach den Definitionen, die du selbst gegeben hast:

Zitat:

Original von Alonushka
Auf $\begin{eqnarray*} N_0 \times N_0 \end{eqnarray*}$ sei eine Äquivalenzfunktion
$\begin{eqnarray*} (a,b)\sim(a',b')<=>a+b'=a'+b \end{eqnarray*}$
gegeben.

30.10.2012, 21:57

Alonushka

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RE: identische Äquivalenzrelation beweisen
nee, es tut mir Leid...ich verstehe es nicht..=(

30.10.2012, 21:59

Leopold

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Du mußt dich immer wieder auf diese Definition der Äquivalenz beziehen:

Zitat:

Original von Alonushka
Auf $\begin{eqnarray*} N_0 \times N_0 \end{eqnarray*}$ sei eine Äquivalenzfunktion
$\begin{eqnarray*} (a,b)\sim(a',b')<=>a+b'=a'+b \end{eqnarray*}$
gegeben.

Schreibe hin, was das

für $\begin{eqnarray*} (a,b) \sim (a',b') \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (c,d) \sim (c',d') \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (u,v) \sim (u',v') \end{eqnarray*}$

bedeutet. Die ersten beiden sind vorgegeben, die gelten also. Und daß das dritte gilt, mußt dann mit Hilfe der ersten beiden nachweisen. Nur zur Erinnerung: $\begin{eqnarray*} u,v,u',v' \end{eqnarray*}$ sind von mir eingeführte Abkürzungen für gewisse Ausdrücke. Sie sollten dir nur zu mehr Übersicht verhelfen.

30.10.2012, 22:24

Alonushka

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es soll also Folgendes gleich sein:
$\begin{eqnarray*} (a+c)+(b'+d') = (a'+c')+(b+d) \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 22:27

Leopold

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Sagen wir so: Du mußt beweisen, daß das gilt. Aber immerhin haben wir jetzt einmal die Behauptung.

Du weißt etwas über $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a',b') \end{eqnarray*}$ , denn die sind ja nach Voraussetzung äquivalent. Schreibe auch dafür die Gleichung hin (siehe deine eigene Definition). Und für $\begin{eqnarray*} (c,d) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c',d') \end{eqnarray*}$ ebenso, denn die sind auch als äquivalent vorausgesetzt.

30.10.2012, 22:39

Alonushka

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$\begin{eqnarray*} a+b'=a'+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c+d'=c'+d \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 22:42

Leopold

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Und wie kannst du jetzt aus $\begin{eqnarray*} a+b' = a'+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c+d' = c'+d \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} a+c+b'+d' = a'+c'+b+d \end{eqnarray*}$ folgern? Es ist ganz einfach. Du mußt nur hinschauen, stelle dir nichts wahnsinnig Aufregendes darunter vor.

(Vielleicht merkst du dir auch den "Trick": Äquivalenz heißt Gleichheit der Summen beim Über-Kreuz-Addieren.)

30.10.2012, 22:53

Alonushka

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indem ich einfach diese beide addiere ?

Zitat:

Original von Alonushka
$\begin{eqnarray*} a+b'=a'+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c+d'=c'+d \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 23:00

Leopold

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Ja. War ja nicht schwer.
Allerdings bin ich mir ziemlich sicher, daß du immer noch ein komisches Gefühl hast, weil du nicht recht verstehst, was das Ganze soll.

Vielleicht einmal weg davon, damit du sehen kannst, was der tiefere Sinn dieser Aufgabe ist. Du weißt, wie man mit Brüchen rechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} + \frac{7}{4} = \frac{8}{12} + \frac{21}{12} = \frac{29}{12} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man Brüche aber verschieden schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7}{4} = \frac{14}{8} = \frac{21}{12} = \ldots \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt oben in der Rechnung die Brüche durch wertgleiche Brüche mit anderen Zählern und Nennern ersetzte und sich im Endergebnis nicht derselbe Summenwert ergäbe, dann wäre die Addition nicht "wohldefiniert", da der Wert abhängig wäre von der speziellen Form des Bruchs.
Glücklicherweise ist das nicht so, wie du aus langjähriger Erfahrung weißt. Das heißt, die Addition der Brüche ist wohldefiniert.

Jetzt definiere ich eine neue Rechenart für Brüche. Ich schreibe dafür einen Kringel und definiere:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \circ \frac{c}{d} = \frac{a+c}{bd} \end{eqnarray*}$

Das heißt, die Zähler werden addiert, die Nenner multipliziert.

Jetzt berechnen wir einmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \circ \frac{7}{4} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ersetze ich die Brüche links durch wertgleiche Brüche:

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{9} \circ \frac{14}{8} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18} \end{eqnarray*}$

Und das ist nicht dasselbe. Meine Definition ist also in sich widersprüchlich, da das Kringel-Ergebnis für dieselben Zahlenwerte (nur in unterschiedlicher Schreibweise) zu unterschiedlichen Ergebnissen führt. Das heißt: Die Kringel-Operation ist nicht wohldefiniert. Sie ist grober Unfug!

Und in deiner Aufgabe geht es darum zu zeigen, daß die so gegebene Addition

$\begin{eqnarray*} [(a,b)] + [(c,d)] = [(a+c,b+d)] \end{eqnarray*}$

wohldefiniert ist, daß sich also rechts derselbe Wert ergibt, wenn du in $\begin{eqnarray*} [(a,b)] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} [(c,d)] \end{eqnarray*}$ zu anderen Repräsentanten übergehst.

Bei den Brüchen geht man durch Kürzen und Erweitern zu anderen Repräsentanten über, und hier in der Aufgabe, indem man in beiden Koordinaten denselben Wert addiert oder subtrahiert:

$\begin{eqnarray*} (2,9) \sim (5,12) \end{eqnarray*}$ (in jeder Koordinate wurde $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ addiert)

Überprüfung auf Korrektheit durch Addieren über Kreuz (denke an $\begin{eqnarray*} a+b'=a'+b \end{eqnarray*}$ ): $\begin{eqnarray*} 2+12 = 9+15 \end{eqnarray*}$ stimmt!

$\begin{eqnarray*} (43,12) \sim (60,29) \end{eqnarray*}$ (in jeder Koordinate wurde $\begin{eqnarray*} 17 \end{eqnarray*}$ addiert)

Überprüfung auf Korrektheit durch Addieren über Kreuz: $\begin{eqnarray*} 43+29 = 12+60 \end{eqnarray*}$ stimmt!

30.10.2012, 23:25

Alonushka

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danke =) das habe ich verstanden =)
heißt das,dass ich es für Addition schon gezeigt habe,dass es stimmt, wenn ich noch paar Werte zur Überprüfung einsetze und berechne?
und wie geht es dann mit Multiplikation?oder ist das jetzt schon drin?

30.10.2012, 23:35

Leopold

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Du brauchst bei der Addition keine Werte mehr zu testen, denn du hast bereits allgemein gezeigt, daß die Addition wohldefiniert ist. (Für dich kannst du es natürlich machen, um den Glauben daran zu erhöhen.)

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} [(3,7)] + [(5,2)] = [(8,9)] \end{eqnarray*}$

Jetzt gehen wir zu äquivalenten Repräsentanten über. Beim ersten addieren wir $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ , beim zweiten $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} [(7,11)] + [(8,5)] = [(15,16)] \end{eqnarray*}$

Aber auch die Repräsentanten der rechten Seiten sind äquivalent (es wurde $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ addiert bzw. Test durch Über-Kreuz-Addition: $\begin{eqnarray*} 8+16 = 15+9 \end{eqnarray*}$ )

Jetzt mußt du noch die Wohldefiniertheit der Multiplikation überprüfen. Das ist aber etwas aufwendiger, denn die Definition der Multiplikation ist etwas komplizierter. Am besten versuchst du dich morgen daran.

30.10.2012, 23:37

Alonushka

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würde ich auch sagen...aber danke für deine Hilfe =)

01.11.2012, 12:23

Alonushka

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hallo,ich hoffe, dass mir jetzt jemand bei der Wohldefiniertheit der Multiplikation hilft...ich bin ja noch nicht mit der Aufgabe fertig.

01.11.2012, 15:22

Leopold

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Du weißt Folgendes:

Zitat:

Original von Alonushka
Auf $\begin{eqnarray*} N_0 \times N_0 \end{eqnarray*}$ sei eine Äquivalenzfunktion
$\begin{eqnarray*} (a,b)\sim(a',b')<=>a+b'=a'+b \end{eqnarray*}$
gegeben.
...
$\begin{eqnarray*} [(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)] \end{eqnarray*}$

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} [(3,5)] \cdot [(5,6)] = [(45,43)] \end{eqnarray*}$

Jetzt nehmen wir links andere Repräsentanten: $\begin{eqnarray*} (3,5) \sim (1,3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (5,6) \sim (1,2) \end{eqnarray*}$ (mache den Überkreuz-Addier-Test, um dich zu vergewissern, daß die Elemente wirklich äquivalent sind). Damit bekommen wir

$\begin{eqnarray*} [(1,3)] \cdot [(1,2)] = [(7,5)] \end{eqnarray*}$

Die Definition wäre nicht sinnvoll, wenn man rechts eine andere Äquivalenzklasse hätte als zuvor. Glücklicherweise gilt aber ( $\begin{eqnarray*} 45,43) \sim (7,5) \end{eqnarray*}$ . Wir haben also durch die Rechnung einen anderen Repräsentanten, aber dieselbe Äquivalenzklasse bekommen. Zumindest an diesem Beispiel bestätigt sich die Wohldefiniertheit. Aber ein Beispiel ist ja kein Beweis. Du mußt das jetzt allgemein nachprüfen. Das dürfte dieses Mal umfang- und trickreicher sein. Versuche dich selbst daran.

Hier noch einmal den Vergleich mit dem Addieren von Brüchen:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{6} + \frac{3}{5} = \frac{20}{30} + \frac{18}{30} = \frac{38}{30} \end{eqnarray*}$

Wir nehmen links andere Bruchdarstellungen für denselben Zahlenwert:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} + \frac{12}{20} = \frac{40}{60} + \frac{36}{60} = \frac{76}{60} \end{eqnarray*}$

Auch hier haben wir zwei verschiedene Bruchdarstellungen (entspricht: Repräsentanten), aber denselben Zahlenwert (entspricht: Äquivalenzklasse) erhalten.

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