Ungleichungen beweisen

30.10.2012, 20:53

Alonushka

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Ungleichungen beweisen

Hallo...ich habe folgendes Problem...
ich muss beweisen, dass die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \geq x+y \end{eqnarray*}$
für alle positiven reellen Zahlen x, y richtig ist

ich habe versucht die Nenner wegzukriegen
bin jetzt also bei
$\begin{eqnarray*} x^3+y^3-x^2y-xy^2\geq0 \end{eqnarray*}$
ist der Schritt so richtig?und wie soll ich weiter vorgehen ?

30.10.2012, 21:03

magic_hero

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Ja, ist richtig so bisher. Klammere nun geschickt aus. Ich habe es dir schon mal "sichtbar" umgeformt, damit klar ist, wo man da was geschickt ausklammern könnte:
$\begin{eqnarray*} (x^3-xy^2)+(y^3-x^2y)\geq0 \end{eqnarray*}$

30.10.2012, 21:03

MadCookieMonster

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So weit sollte alles richtig sein.
Versuch mal jetzt ein bisschen Auszuklammern.
Dann sollten dir die binomischen Formeln weiterhelfen!

MCM

Edit: Zu spät Tanzen

Tanzen

30.10.2012, 21:04

Leopold

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Versuche, den Term links zu faktorisieren: geschickt gruppieren und ausklammern.

30.10.2012, 21:18

Alonushka

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ok...ich habe jeweils x und y ausgeklammert
und binom angwendet
$\begin{eqnarray*} x(x-y)(x+y)+y(y+x)(y-x)\geq0 \end{eqnarray*}$
dann habe ich $\begin{eqnarray*} (x+y) \end{eqnarray*}$ ausgeklammert:
$\begin{eqnarray*} (x+y)(x(x-y)+y(y-x))\geq0 \end{eqnarray*}$

wie muss ich weiter vorgehen ?
irgendwie leuchtet es mir nicht ein...

30.10.2012, 21:21

magic_hero

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Das sieht okay aus (man hätte auch x²-y² bzw. y²-x² stehen lassen können, aber spielt keine große Rolle). Du kannst jetzt weiter ausklammen. Beachte dabei, dass (x-y) = -(y-x) gilt.

Alternativ auch der Weg von MadCookieMonster, wenn es einem lieber ist. Beim Rest kann man dann tasächlich einfach argumentieren, indem man sich überlegt, wann ein Produkt größer gleich 0 ist (d.h. was dann für die Faktoren gelten muss).

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30.10.2012, 21:24

MadCookieMonster

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Bin mir nicht sicher, ob man das machen darf aber ich würde den Rest jetzt einfach argumentieren.

da $\begin{eqnarray*} (x+y) > 0 \end{eqnarray*}$ kannst du das auch weglassen oder?

In der Klammer würde ich das Ganze nocheinmal ausmultiplizieren und nochmal mit den binomischen Formeln rangehen!
Den Rest sollte man dann mit Argumentieren sehen können!

MCM

30.10.2012, 21:32

Alonushka

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ok...
$\begin{eqnarray*} (x+y)(x(x-y)-y(x-y)\geq0 \end{eqnarray*}$
dann klammere ich weiter aus...
$\begin{eqnarray*} (x+y)(x-y)(x-y)\geq0 \end{eqnarray*}$
die zwei erste Klammern ist ja die 3.binomische Formel
$\begin{eqnarray*} (x-y)^2(x-y)\geq0 \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} (x-y)^3\geq0 \end{eqnarray*}$
dann könnte ich 3.Wurzel ziehen,hätte dann
$\begin{eqnarray*} x-y\geq0 \end{eqnarray*}$
ist es soweit richtig ?
und was soll ich jetzt tun?
ich würde nach x oder y die Ungleichung umstellen, aber was bringt es mir ?

30.10.2012, 21:36

magic_hero

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Du hast da an der einen Stelle die dritte binomische Formel nicht richtig angewendet (Es ist (x+y)(x-y)=x²-y² und nicht =(x-y)²!). Schreibe stattdessen in der Zeile zuvor (x-y)(x-y)=(x-y)².
Dann hast du ein Produkt mit zwei Faktoren. Jetzt musst du dir nur noch überlegen, was für die Faktoren gelten muss, damit ihr Produkt größer gleich null ist.

30.10.2012, 21:47

Alonushka

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$\begin{eqnarray*} (x+y)(x-y)^2\geq0 \end{eqnarray*}$
das Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist oder beide pesitiv oder beide negativ

30.10.2012, 21:51

magic_hero

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Zitat:

Original von Alonushka
$\begin{eqnarray*} (x+y)(x-y)^2\geq0 \end{eqnarray*}$
das Produkt ist größer gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist oder beide pesitiv oder beide negativ

Du meinst sicher das, was ich markiert habe. Jetzt musst du nur noch überprüfen, ob das unter den Voraussetzungen erfüllt ist.

30.10.2012, 22:09

Alonushka

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jetzt verstehe ich nicht mehr viel...
$\begin{eqnarray*} (x+y)(x-y)^2\geq0 \end{eqnarray*}$
ein Faktor muss Null sein
$\begin{eqnarray*} x+y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-y \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} (x-y)^2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

beide positiv:
$\begin{eqnarray*} x+y>o \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>-y \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} (x-y)^2>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$

beide negativ
$\begin{eqnarray*} x+y<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x<-y \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} (x-y)^2<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$

ist das so richtig ???ich bezweifle es irgendwie sehr... verwirrt

verwirrt

30.10.2012, 22:13

magic_hero

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Du hast du doch schon in deiner Aufgabenstellung stehen, dass x und y beides positive reelle Zahlen sind. Genau das musst du jetzt hier benutzen:
Daraus folgt schon mal, dass x+y auch positiv ist. Dieser Faktor kann also schon mal nicht negativ werden und auch nicht 0. (Damit sind zwei deiner Fälle gar nicht möglich.)

(x-y)² ist ja eine Quadratzahl. Was gilt denn für Quadratzahlen, wenn man sie mit der 0 vergleicht?

30.10.2012, 22:21

Alonushka

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das weiß ich nicht...
aber ich habe noch eine Frage:
ich muss beweisen, dass es sich bei x und y um positive reellen Zahlen handelt, das kann ich doch nicht einfach so behaupten...

30.10.2012, 22:24

MadCookieMonster

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Laut deiner Aufgabenstellung ist das aber Vorraussetzung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du beweist, dass diese Aussage für 2 positive reelle Zahlen gilt.
Wenn die 2 Zahlen nicht positiv sind sieht die Sache ganz anders aus.

Und als Tipp zu den Quadratzahlen.
Kann $\begin{eqnarray*} x^{2} < 0 \end{eqnarray*}$ sein? smile

smile

MCM

30.10.2012, 22:25

magic_hero

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Da täuscht du dich. Du hast im ersten Beitrag geschrieben, dass du zeigen musst, dass die Ungleichung für alle positiven reellen Zahlen gilt. Du nimmst also von Anfang an beliebige positive reelle Zahlen x und y, für die du die Ungleichung zeigst. Wären x und y nicht positiv, so wären einige Umformungsschritte auch nicht richtig (wenn man mit negativen Zahlen durchmultipliziert, ändert sich das Ungleichungszeichen!).

Zurück zur Aufgabe: Quadratzahlen sind immer gößer gleich 0. Weil x+y auch immer positiv ist, gilt die Ungleichung also für alle positiven reellen Zahlen.

30.10.2012, 22:34

Alonushka

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so also:
$\begin{eqnarray*} x+y>o \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x>-y \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (x-y)^2\geq0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\geq y \end{eqnarray*}$

das reicht dann also um dies zu beweisen ?

30.10.2012, 22:43

magic_hero

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Ich verstehe nicht wirklich, was du damit sagen willst. Du musst hier am Ende nichts mehr umformen. Du musst nur begründen, warum die Ungleichung wahr ist. Und das ist sie, weil (x+y)>0 und (x-y)²>=0 gilt. Denn dann ist auch das Produkt größer gleich 0.

30.10.2012, 22:49

Alonushka

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ach so, ok...vielen Dank =)

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