Grenzwert einer Folge

30.10.2012, 21:37

nerd18000

Grenzwert einer Folge

Meine Frage:
Hallo,

ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^{2}+k }\right) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wenn ich so anfange:

$\begin{eqnarray*} ||\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^{2}+k }-\frac{1}{2}| | \leq .... \end{eqnarray*}$

schätze ich, egal wie ich es mache, immer zu grob ab, sodass ich im Zähler und im Nenner gleich hohe Potenzen habe unglücklich

Welchen "Trick" übersehe ich da?
Danke für jede Antwort.
mfg

30.10.2012, 23:33

Lamiah

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$\begin{eqnarray*} |\sum_{k=1}^n \frac{k}{n²+k} - \frac{1}{2} | < |\sum_{k=1}^n \frac{k}{n²} - \frac{1}{2} | \end{eqnarray*}$
Mithilfe des kleinen Gauß sollte es jetzt ein Leichtes sein.

31.10.2012, 01:01

nerd18000

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Der kleine Gauß ist:

$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n k - \frac{1}{2}| =| \frac{1}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{2} |= | \frac{n^2 +n-n^2 }{2n^2}|= \frac{1}{2 n } < \epsilon \Rightarrow n > \frac{1}{2 \epsilon} \end{eqnarray*}$

Danke!! Ich glaube so stimmt es.

31.10.2012, 09:48

EinGast

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Zitat:

Original von Lamiah
$\begin{eqnarray*} |\sum_{k=1}^n \frac{k}{n²+k} - \frac{1}{2} | < |\sum_{k=1}^n \frac{k}{n²} - \frac{1}{2} | \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung müsste man allerdings noch begründen, denn aus $\begin{eqnarray*} a<a' \end{eqnarray*}$ folgt ja im allgemeinen nicht $\begin{eqnarray*} |a-b|<|a'-b| \end{eqnarray*}$ .
Ich würde stattdessen verwenden, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{k}{n^2+n}\leqslant \frac{k}{n^2+k}\leqslant\frac{k}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k=1,\dots,n \end{eqnarray*}$

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