Wegintegral

Neue Frage »

31.10.2012, 11:50	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegintegral Meine Frage: Hallo, ich habe das Problem eine Aufgabe gerne auf eine andere Art und Weise lösen zu würden, um mein Ergebnis zu bestätigen. Berechnen sie folgendes Intergal : $\begin{eqnarray} \int_\Omega^b \! f(r(t))\cdot N(r(t)) \, dt<br /> <br /> \Omega: = \left\{ (x,y) \in \mathbb R^2 : 0\leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \right\} <br /> <br /> f(x,y) = \begin{pmatrix} xy +1 \\ -e^y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht wie ich die Parametrisierung der Funktion machen soll, sodass sie nur noch von einem Parameter abhängt und ich das ganze über ein Wegintegral lösen könnte. Wie funktioniert das ? Meine Ideen: Ich habe es mal so versucht : $\begin{eqnarray} div f(x,y) = y - e^y<br /> <br /> \int_0^1 \! \int_0^1 \! y - e^y \, dx \, dy = \int_0^1 \! y - e^y \, dy = [\frac{1}{2}y^2 - e^y] = \frac{1}{2} - e - ( -1) =\frac{3}{2} -e \end{eqnarray}$
31.10.2012, 13:19	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
ich verstehe nicht ganz, was du machen willst und wie das Integral aussehen soll. Einerseits integrierst du über $\begin{align} \Omega \end{align}$ , dann aber t bis b. Außerdem: was ist N(.)? Was r(t)? Wenn du so was reinstellst, dann musst du alle relevanten Informationen angeben. Gruß Peter
31.10.2012, 13:22	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ soll den Rand darstellen, ich konnte das mit der Untergrenze irgendwie nicht machen mit dem Latex und die Obergrenze b soll nicht da sein wo sie ist. Da steht logischer Weise gar nichts. N ist wenn ich das richtig verstehe der nach außen weisende Normalenvektor und r(t) muss wohl eine Parametrisierung des Randes sein
31.10.2012, 14:10	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmhh ... das scheint mir mit Wegintegralen nichts zu tun zu haben, sondern eher mit dem Integralsatz von Gauß. Und gemeint hast du wohl $\begin{eqnarray} \int_{\Omega} \vec\nabla\cdot\vec f(\vec x)\,d\Omega=\oint_{\partial\Omega}\vec f(\vec x)\cdot\vec n\,dS \end{eqnarray}$ . Das ist aber nur geraten, weil deine Informationen nur sehr vage sind. $\begin{eqnarray} \mathbb R^2\supset\Omega: = \left\{ (x,y) \in \mathbb R^2 : 0\leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \right\} \end{eqnarray}$ ist ein Gebiet im \mathbb R^2 und nicht der Rand des Gebiets.
31.10.2012, 14:20	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann leider nur das sagen was in meiner Aufgabenstellng steht. Ich verstehe das so, dass $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ein Gebiet ist. Die Aufgabenstellung sagt mir jetzt dass ich über den Rand dieses Gebietes integrieren soll. Ich versuchs einfach nochmal $\begin{eqnarray} \int_{\partial\Omega}^{} \! f(r(t))\cdot N(r(t)) \, dt \end{eqnarray}$ Und ich soll das irgedwie als "Wegintegra"l lösen. Über den Gaußschen Satz habe ichs ja bereits gemacht und denke auch das Richtige berechnet ! Edit : $\begin{eqnarray} r(t) \end{eqnarray}$ ist eine Parametrisierung des Randes $\begin{eqnarray} \partial\Omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ist der nach außen weisende Normalenvektor. Mehr verrät mir die Aufgabenstellung leider nicht. Lediglich : Berechne das Integral
31.10.2012, 15:14	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiß keiner wie das als "Wegintegral" gehen soll ? Hilft es mir was, dass ich weiß, dass das Gebiet als Quadrat mit Kantenlänge 1 im ersten Quadranten angesehen werden kann ?
Anzeige

31.10.2012, 16:42	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass hier der Greensche Integralsatz gemeint ist ? $\begin{eqnarray} \int_{\partial\Omega}^{} \! W \, dX = \int_D^{} \! (rot W)(x) \, dx \end{eqnarray}$ ? Kann mir denn keiner weiterhelfen ?
31.10.2012, 20:03	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht guckst du erst mal, was die Projektionen des Vektorfeldes f auf die (Einheits-?)Normalenvektoren am Rand sind. Man kann das Genze dann als Integral über eine Variable auffassen. Gruß Peter
01.11.2012, 10:27	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das hab ich gebraucht habs rausbekommen

Neue Frage »

Antworten »

Wegintegral

Verwandte Themen