Vollständige Induktion mit Fakultät im Produkt

31.10.2012, 12:21

nullll

Vollständige Induktion mit Fakultät im Produkt

Meine Frage:
Hallo, folgende Gleichung soll induktiv bewiesen werden:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^n (2k-1) = \frac{(2n)!}{2^n*n!} \end{eqnarray*}$

Nunja, IA ist klar, natürlich macht der Induktions-Schritt etwas Probleme. Ich weiß nicht so recht, wie ich auf die $\begin{eqnarray*} 2^n*n! \end{eqnarray*}$ im Nenner des Bruches kommen soll.

Meine Ideen:
Ich dachte mir, zunächst mal (n+1) mit etwas zu erweitern, habe es dann mit

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^n (2k-1) = \frac{(2n)!}{2^n*n!} * \frac{(2n+1)*(2(n+1))}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

versucht. Damit komme ich aber nur ungefähr so weit:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^n (2k-1) = \frac{(2n)! * (2n+1)*(2(n+1))}{2^n*n!*2(n+1)} = \frac{(2n)! * (2n+1)*(2(n+1))}{2^{n+1}*n!*(n+1)} = \frac{(2(n+1))!*(2n+1)}{2^{n+1}*(n+1)!} \end{eqnarray*}$

Tja, und weiter komme ich leider nicht. Ich habe leider immer oben das $\begin{eqnarray*} (2n+1) \end{eqnarray*}$ über.

31.10.2012, 12:25

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion mit Fakultät im Produkt
Was genau ist die Induktionsannahme, und wo geht diese in den Induktionsschritt ein?

31.10.2012, 12:32

nullllll

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja, sorry, ich dachte, das geht aus dem Zeug hervor :-)

Behauptung ist:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) = \prod\limits_{k=1}^{n} (2k-1) * (2(n+1)-1) =\frac{(2(n+1))!}{2^{n+1}*(n+1)!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N, n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Wie sie in den IS eingeht, ist hierdurch jetzt hoffentlich verständlicher geworden.

31.10.2012, 14:27

Hellsing91

Auf diesen Beitrag antworten »

@nullllll Es wäre hilfreich die Lösung deiner Aufgabe so kleinschrittig und Präzise wie möglich aufschreiben. Dazu gehört auch der formalismus der vollständigen Induktion. Erst dann kann man dir wirklich helfen. Den wie sollen wir dir sagen wo dein Fehler liegt, wenn du 2-3 Schritte überspringst ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) = \prod\limits_{k=1}^{n} (2k-1) * (2(n+1)-1) =\frac{(2(n+1))!}{2^{n+1}*(n+1)!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N, n \geq 1 \end{eqnarray*}$

Auch hier wäre es sinnig zu schreiben, wie du auf den Term kommst.

Der Induktionsanfang für n=1 passt (habs nicht überprüft)

Induktionsschritt:

Wir sollen also zeigen:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) = \frac{(2n+2)!}{2^{n+1} \cdot (n+1)!} \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \prod\limits_{k=1}^{n} (2k-1) * (2(n+1)-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \prod\limits_{k=1}^{n} (2k-1) * (2n+1) \end{eqnarray*}$

Nun setzen wir die Induktionsvorraussetzung ein, und erhalten:

$\begin{eqnarray*} = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!} \cdot (2n+1) \end{eqnarray*}$

Und ab da schreibst du nochmal genau auf was du gemacht hast. Undzwar schritt für schritt.

Mfg. Hellsing Wink

04.11.2012, 13:16

Alonushka

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo=) zufällig habe ich die gleiche Aufgabe...bin jetzt beim lätzten Schritt angekommen,aber ich weiß nicht ,wie ich weiter mit diesen Fakultäten rechnen soll...
ich hoffe, dass mir jemand helfen kann..
$\begin{eqnarray*} =\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}\cdot(2n+1) \end{eqnarray*}$

habe es dann nur weiter anders geschrieben:
$\begin{eqnarray*} =\frac{(2n+1)(2n)!}{2^n\cdot n!} \end{eqnarray*}$

04.11.2012, 13:42

Alonushka

Auf diesen Beitrag antworten »

bitte,ich bauche wirklich Hilfe...

04.11.2012, 14:20

Dangalf

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nur noch zeigen, dass Dein Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1)(2n)!}{2^n\cdot n!} \end{eqnarray*}$

mit dem übereinstimmt, den Hellsing91 oben genannt hat:

Zitat:

Wir sollen also zeigen:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) = \frac{(2n+2)!}{2^{n+1} \cdot (n+1)!} \end{eqnarray*}$

Hinweis: Dazu wirst Du wohl die Fakultäten etwas umschreiben müssen, beachte dabei, dass
$\begin{eqnarray*} x! = x \cdot (x-1)! \end{eqnarray*}$ und versuche, das für $\begin{eqnarray*} x = 2n+2 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x = n + 1 \end{eqnarray*}$ zu benützen.

04.11.2012, 14:47

Alonushka

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke =)
ich habe es raus=)
mir hat das Wissen über die Fakultäten gefehlt..

04.11.2012, 14:48

Alonushka

Auf diesen Beitrag antworten »

es lässt sich da einiges kürzen, dann kommt man auf das Ergebnis.

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion mit Fakultät im Produkt

Verwandte Themen