Cramersche Regel

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HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »
Cramersche Regel
[attach]26432[/attach]

Mir ist leider unklar, wie ich hier x_n bestimmen soll.

Generell wäre meine Idee die n-te Spalte durch den Störvektor , also zu ersetzen.

Dann die Cramersche Regel:
x_n =

Doch wie soll ich diese hier konkret anwenden?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cramersche Regel
Das was du da formuliert hast, ist doch genau das richtige vorgehen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist richtig.
Die Derminante |A| ist bekannt, desgleichen jene Determinante |A_nb|, die entsteht, wenn man die n-te Spalte durch den Vektor b ersetzt.
Damit ist x_n berechenbar, wenn beide Determinanten nach den geltenden Regeln aufgelöst werden.

Wie gestalten sich damit nun die Auflösungsfälle

1.
Ein Lösungs n-Tupel

2.
Unendlich viele Lösungen

3.
Keine Lösung ?

mY+
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Die Idee ist richtig.
Die Derminante |A| ist bekannt, desgleichen jene Determinante |A_nb|, die entsteht, wenn man die n-te Spalte durch den Vektor b ersetzt.



Ach Stimmt, die Determinante |A| ist ja tatsächlich bekannt!
Ist die Determinante von gleich |A|, nämlich ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist (für mich) unverständlich, die beiden können doch nicht gleich sein. Auch sonst kann das nicht stimmen, selbst wenn nach den Elementen der b-Spalte aufgelöst wird. Die Unterdeterminanten haben dann die Dimension n-1.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »



So schaut mMn die Determinante mit dem Störvektor aus.
Das Produkt der Hauptdiagonale ist nun der Wert der Determinante. Daher mein Gedanke, dass dieser Determinantenwert gleich dem Determinantenwert von |A| ist...
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch eine ganz spezielle Voraussetzung, von der du vorher kein Sterbenswort verraten hast (!). Das trifft für x = 1 natürlich zu.
Im Allgemeinen wird das niemals so sein.

mY+
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber wieso ist das eine spezielle Voraussetzung?

Du hast geschrieben, dass die Determinante |A| bekannt ist.
Diese ist (nachdem du darauf hingewiesen hast, dass diese bekannt ist, ists mir auch eingefallen) .

Wenn ich nun jedoch den Störvektor anstatt der n-ten Spalte einsetze. Erhalte ich doch die im letzten Beitrag niedergeschriebene Form für ? (Bitte korrigiere mich, falls ich damit falsch liege).
Und die Determinante ist mMn nun Mal gleich |A|.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Determinanten |A| bzw. |A_b| können doch im Allgemeinen nicht gleich sein. Oder es gibt da ein Mißverständnis.

Zeige mir das mal an dem einfachen System

4 2 -3 | 1
2 3 -2 | 6
3 -2 2 | 8

mit dem Lösungsvektor (2; 4; 5)^T
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deinem Beispiel, werden die Determinanten |A| bzw. |A_b| unterschiedlich sein, das kann ich schon nachvollziehen.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Eventuell sollten wir von neu beginnen. Ich glaube ich habe bisher viel Schwachsinn verzapt und das scheint die Angelegenheit unnötig umständlicher zu machen...

Zitat:
Original von mYthos
Die Derminante |A| ist bekannt, desgleichen jene Determinante |A_nb|, die entsteht, wenn man die n-te Spalte durch den Vektor b ersetzt.
Damit ist x_n berechenbar, wenn beide Determinanten nach den geltenden Regeln aufgelöst werden.


Ist die Determinante von |A| gleich ?

Was die Determinante von |A_nb| sein soll, weiß ich nicht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabe (c) stimmt etwas nicht. Die Matrix ist -reihig, der Spaltenvektor ist -reihig. Vermutlich soll es



heißen. Jetzt ist alles -reihig.

In der Tat gilt



(Wurde das schon gezeigt? Oder warum darf das als bekannt vorausgesetzt werden?)

Und wenn man in die letzte Spalte durch ersetzt, erhält man eine Matrix , für die



gilt. Das folgt sofort, wenn man nach der letzten Spalte entwickelt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das Missverständnis beruhte darauf, dass ich die spezielle Aufgabe in c) nicht gesehen habe. Daher konnte ich meine Antwort immer nur allgemein gestalten.

Mittlerweile hat Leopold dies ja aufgeklärt.

mY+
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, Mythos. Danke trotzdem!


Zitat:
Original von Leopold
In der Aufgabe (c) stimmt etwas nicht. Die Matrix ist -reihig, der Spaltenvektor ist -reihig. Vermutlich soll es
.
.
.

heißen. Jetzt ist alles -reihig.

Ja, die Angabe wird tatsächlich falsch gewesen sein. Danke für den Hinweis!


Zitat:
Original von Leopold
(Wurde das schon gezeigt? Oder warum darf das als bekannt vorausgesetzt werden?)

Wenn man die zweite Zeile von der ersten abzieht, und die dritte von der zweiten, usw. dann sieht man, dass gilt.


Zitat:
Original von Leopold
Und wenn man in die letzte Spalte durch ersetzt, erhält man eine Matrix , für die



gilt. Das folgt sofort, wenn man nach der letzten Spalte entwickelt.


Danke dir, jetzt versteh ich es.
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