Hilbertraum Isometrie gdw

31.10.2012, 13:58

Gast11022013

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Hilbertraum Isometrie gdw

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ein Hilbertraum.

Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} T\in\mathcal{L}(H,H) \end{eqnarray*}$ ist Isometrie genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \langle Tx,Ty\rangle=\langle x,y\rangle \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich hab' bisher nur die Rückrichtung hinbekommen:

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ".

Setze einfach $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \lVert Tx\rVert^2=\langle Tx,Tx\rangle=\langle x,x\rangle=\lVert x\rVert^2 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert=\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\lVert Tx\rVert = \lVert x\rVert \end{eqnarray*}$

Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich, wie ich die andere Implikation beweisen kann?

Viele Grüße,
Dennis

31.10.2012, 14:16

chris95

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Wie habt ihr denn Isometrie definiert?

31.10.2012, 14:20

Gast11022013

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Über die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \lVert Tx\rVert=\lVert x\rVert \end{eqnarray*}$ .

31.10.2012, 14:21

chris95

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Okay, dann wuerde es so versuchen:

$\begin{eqnarray*} x,y \in H \end{eqnarray*}$ beliebig.

Dann gibt es sicher ein $\begin{eqnarray*} u , v \in H \end{eqnarray*}$ sodass:

$\begin{eqnarray*} x=u+v \;\;\text{und}\;\; y=u-v \end{eqnarray*}$

Und dann rechne mal:

$\begin{eqnarray*} <Tx, Ty>= <T(u+v),T(u-v)>=\dots \end{eqnarray*}$

31.10.2012, 14:30

Gast11022013

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Zitat:

Original von chris95

$\begin{eqnarray*} x,y \in H \end{eqnarray*}$ beliebig.

Dann gibt es sicher ein $\begin{eqnarray*} u , v \in H \end{eqnarray*}$ sodass:

$\begin{eqnarray*} x=u+v \;\;\text{und}\;\; y=u-v \end{eqnarray*}$

Wieso?

31.10.2012, 14:32

chris95

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Okay.

$\begin{eqnarray*} x,y\in H \end{eqnarray*}$

Daher folgt(H Vektorraum, abgeschlossenheit der Addition):

$\begin{eqnarray*} x+y \in H \end{eqnarray*}$

Wir nennen die Summe $\begin{eqnarray*} x+y=z \end{eqnarray*}$

Da H ein Vektorraum ist, ist auch die Skalarmultiplikation defniert, daher gibt es ein Element u in H, sodass:

$\begin{eqnarray*} u=\frac z 2 = \frac 1 2 (x+y) \end{eqnarray*}$

Analog gibt es ein Element v:

$\begin{eqnarray*} v=\frac 1 2 (x-y) \end{eqnarray*}$

Und dann stehts ja schon fast da. Einverstanden?

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31.10.2012, 18:09

Gast11022013

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Im Werner habe ich den Tipp gefunden, dass die Behauptung für $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ direkt aus

$\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle =\frac{1}{4}(\lVert x+y\rVert^2+\lVert x-y\rVert^2) \end{eqnarray*}$

folgt.

Ich hab das mal nachgerechnet und dabei benutzt, dass T linear ist:

$\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle=\frac{1}{4}(\lVert T(x+y)\rVert^2-\lVert T(x-y)\rVert^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(\langle T(x)+T(y),T(x)+T(y)\rangle - \langle T(x)-T(y),T(x)-T(y)\rangle) \end{eqnarray*}$

Wenn man das jetzt noch wieder mit der Linearität des Skalarprodukts weiter aufdröselt und dann am Ende alles durch 4 dividiert, kommt man am Ende tatsächlich auf $\begin{eqnarray*} \langle T(x),T(y)\rangle \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}=\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ soll die Aussage direkt folgen aus

$\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle = \frac{1}{4}(\lVert x+y\rVert^2-\lVert x-y\rVert^2+i\lVert x+iy\rVert^2-i\lVert x-iy\rVert^2) \end{eqnarray*}$

Das muss ich noch nachrechnen, aber werde ich wohl hinbekommen.

Danke für Deine Hilfe, chris95, Dein Tipp ging ja in die gleiche Richtung, hab's nur nicht so schnell begriffen.

31.10.2012, 21:47

chris95

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Kein Ding. Ich find meinen Weg schoener. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2012, 17:06

Gast11022013

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Ich habe noch eine Frage.

Kann man $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ im komplexen Fall auch so zeigen:

Es gelte also $\begin{eqnarray*} \lVert Tx\rVert=\lVert x\rVert~\forall x\in H \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt doch $\begin{eqnarray*} \langle T(x+y),T(x+y)\rangle=\langle x+y,x+y\rangle \end{eqnarray*}$ .

Also (ich lasse ein paar Zwischenschritte weg)

$\begin{eqnarray*} \langle T(x+y),T(x+y)\rangle=\langle T(x)+T(y),T(x)+T(y)\rangle=...=\lVert Tx\lVert^2+2\Re\langle Tx,Ty\rangle+\lVert Ty\rVert^2 \end{eqnarray*}$

ist identisch zu

$\begin{eqnarray*} \langle x+y,x+y\rangle=\lVert x\rVert^2+2\Re\langle x,y\rangle+\lVert y\rVert^2 \end{eqnarray*}$ .

Und daraus folgt doch, (weil ja alle anderen Summanden aufgrund der Voraussetzung identisch sind), dass $\begin{eqnarray*} 2\Re\langle Tx,Ty\rangle=2\Re\langle x,y\rangle \end{eqnarray*}$ und das heißt, dass $\begin{eqnarray*} \langle Tx,Ty\rangle=\langle x,y\rangle \end{eqnarray*}$ gelten muss.

01.11.2012, 17:11

chris95

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Nein, jetzt hast du nur gezeigt, dass die Realteile identisch sind.

Fuer den Img-teil musst du dann noch das gleiche mit x+iy machen. Dann kommst du auch auf den Imgteil.

01.11.2012, 17:20

Gast11022013

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Hm, das verstehe ich gerade nicht.

x+iy ist doch nicht aus H?

01.11.2012, 17:28

chris95

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Ja wenn du nen Komplexen Hilbertraum hast schon. Das wolltest du doch, oder?

Im Uebrigen kann man den reellen Fall so zeigen, wie du es gerade getan hast. smile

smile

01.11.2012, 17:36

Gast11022013

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Wieso ist dann x+iy im Hilbertraum??

Komplexer Hilbertraum meint doch, dass die Skalare aus dem den komplexen Zahlen stammen, oder?

01.11.2012, 17:38

chris95

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Genau. Und i ist nunmal ein Skalar der komplexen Zahlen.

Also ist x+i*y in den komplexen Zahlen. Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass x,y Elemente des Hilbertraums sind, wie wir das ja schon in den restlichen Beitraegen gehandhabt haben.

01.11.2012, 17:39

Gast11022013

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dann ist mir alles klar. danke dir

01.11.2012, 17:41

Gast11022013

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Nochmal eine Grundlagen-Frage. Big Laugh

Big Laugh

Wenn man einen reellen Hilbertraum hat, bildet das zugehörige Skalarprodukt auch ins reelle und wenn man einen komplexen Hilbertraum hat, bildet das zugehörige Skalarprodukt ins Komplexe ab?

Muss eigentlich so sein, weil die Skalarprodukte ja Normen induzieren und es anders eigentlich keinen Sinn machen würde.

01.11.2012, 17:44

chris95

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Zitat:

Original von Dennis2010

Wenn man einen reellen Hilbertraum hat, bildet das zugehörige Skalarprodukt auch ins reelle

Genau, auf alle reelen Zahlen

Zitat:

und wenn man einen komplexen Hilbertraum hat, bildet das zugehörige Skalarprodukt ins Komplexe ab?

Ja, aber kann natuerlich auch ins reele abbilden. Ist ja klar.

Zitat:

Muss eigentlich so sein, weil die Skalarprodukte ja Normen induzieren und es anders eigentlich keinen Sinn machen würde.

Genau. Bedenke aber immer, dass $\begin{eqnarray*} <x,x> \in R^+_0 \end{eqnarray*}$ ist. Auch fuer komplexes x. Als die Norm ist immer groesser gleich Null und reel.

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