Extremwertaufgabe

31.10.2012, 15:47	Lilly-123	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Meine Frage: Hallo, Ich komme bei diesen Beispiel einfach nicht voran und brauche dringend Hilfe beim Ansatz.... danke im voraus Stellen Sie sich vor, Sie sind BademeisterIn (A) an einem Strand. Im Wasser droht jemand zu ertrinken (B). Sie sind gut trainiert und können mit einer Geschwindigkeit von vw schwimmen. An Land sind Sie 3x so schnell. a) Wie groß muss ? sein, damit Sie am schnellsten bei dem/der Ertrinkenden sind? Rechnen Sie möglichst weit rein symbolisch. b) Berechnen Sie ? für folgende Zahlenwerte: x = 200 m y = 120 m yL = 70 m vw = 7 km/h Wie schnell sind Sie am Ziel? Welchen Weg mussten Sie dazu zurücklegen? Meine Ideen: Auf diese Formel bin ich schon mal gekommen: t = zeit c1 = A bis Wasserbeginn c2 = Wasserbeginn bis B x1 = untere Länge beim oberen Dreieck t = c1/3vw + c2/vw c1 = sqrt(yL² + x1) c2 = sqrt(yw² + (x - x1)²) stimmt das oder bin ich auf den völlig falschen Weg?
31.10.2012, 16:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ideen sind durchaus zielführend. Im Übrigen erinnert das Problem verdammt an die Brechung eines Lichtstrahls an der Grenze von einem optisch dünneren in das dichtere Medium ... (und wird auch das selbe Resultat haben). mY+
31.10.2012, 16:33	Lilly-123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke hört sich schon mal gut an. ...und wie geh ich jetzt weiter vor, dass ich alpha bekomme? Wäre nett wenn du mir einen kleinen Denkanstoß geben könntest. lg
31.10.2012, 20:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der zunächst logische Weg ist nun, die Summe der Zeiten $\begin{eqnarray} t = t_1 + t_2 = \frac{c_1}{3v_W} + \frac{c_2}{v_W} \end{eqnarray}$ zu maximieren, also $\begin{eqnarray} t = \frac{\sqrt{{y_L}^2 + x_1^2}}{3v_W} + \frac{\sqrt{{y_W}² + (x - x_1)^2}}{v_W} \end{eqnarray}$ nach x1 abzuleiten und Null zu setzen. Die Gleichung in x1, die sich damit ergibt, ist vom Grad 4 und offensichtlich herkömmlich nicht zu lösen. Jedoch ist nach dem Nullsetzen der Ableitung - auch ohne Berechnung von x1 - SOFORT das Snellius'sche Brechungsgesetz zu erkennen, wonach sich die Geschwindigkeiten so verhalten, wie die Sinusfunktionen des Einfalls- und des Brechungswinkels, beide vom Lot aus gemessen. Der Kehrwert der Geschwindigkeiten entspricht der "Dichte" des Mediums. Man kommt also auf $\begin{eqnarray} \frac{x_1}{c_1} = \frac{3(x-x_1)}{c_2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin \alpha = 3 \sin \beta \ \text{(durch }v_W \ \text{gekürzt)} \end{eqnarray}$ Da die beiden Winkel bezüglich des Lotes gemessen sind, ist der in der Skizze eingezeichnete Winkel mit $\begin{eqnarray} \alpha' = 90 - \alpha \end{eqnarray}$ zu bezeichnen. Beim weiteren Rechenweg hat sich gezeigt, dass die näherungsweise Auflösung der eingangs angeschriebenen Gleichung mit den gegebenen Zahlenwerten nach x1 (die exakte Berechnung ist nicht wirklich lustig) doch noch einfacher ist, als wenn auf die Winkelfunktionen der beiden Winkel übergegangen wird. Bei folgerichtiger Rechnung mit den gegebenen Zahlenwerten wird x1 = 183,61 m, die Winkel kannst du dann ausrechnen und daraus auch die Beziehung $\begin{eqnarray} \sin \alpha = 3 \sin \beta \end{eqnarray}$ erkennen. mY+
02.11.2012, 23:21	Lilly-123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort Du hast mir echt geholfen

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