Herleitung des Sinus des Halbenwinkels mit Hilfe von 3 Teilbedinungen

31.10.2012, 17:27

stambo8820

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Herleitung des Sinus des Halbenwinkels mit Hilfe von 3 Teilbedinungen

Meine Frage:
Hi! Ich soll die Folrmeln für den Sin(x/2) bzw. cos(x/s) ausgehend von folgender Bedingungen herleiten:
a,b element R; r :=(a^2 + b^2)^(1/2); Errechne alle Lösungen für (x,y) element R^2 in ABHÄNGIGKEIT VON a und r mit
1) x^2-y^2 = a (und)
2) 2xy = b.

Dies soll man dann zur Herleitung der o.a. Halbwinkelformeln nutzen...

Meine Ideen:
Ich habe ne Ganze Zeit damit verschwendet - die Bedingungen 1) und 2) in die r-Formel einzubauen - bzw. die Bedingungen einzubauen - und dabei "alle Variablen zu tilgen" außer halt r und a. Leider vergebens. ich komme zwar zu z.B. r=x^2+y^2 - aber ich komme zu keiner Lösung - die nur noch die Variablen a und r beinhalten.

(Mir ist bewusst, dass die Formel bzgl. r einen Kreis mit Radius r definiert - zumindest stelle ich mir das unter der Formel vor.)

Kann mir jemand helfen - wo der Trick liegt - den ich Holzkopf nicht sehe...

31.10.2012, 17:50

Leopold

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Das sind ja genau die Gleichungen, die man erhält, wenn man im Komplexen $\begin{eqnarray*} z = \sqrt{c} \end{eqnarray*}$ berechnen will. Setzt man in kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray*} z = x + \operatorname{i} y \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} c = a + \operatorname{i} b \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) an, so führt $\begin{eqnarray*} z^2 = c \end{eqnarray*}$ auf die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray*} \text{1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{2)} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man $\begin{eqnarray*} \text{1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{2)} \end{eqnarray*}$ quadriert und die quadrierten Gleichungen addiert, folgt:

$\begin{eqnarray*} \left( x^2 + y^2 \right)^2 = a^2 + b^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \text{3)} \ \ x^2 + y^2 = r \end{eqnarray*}$

Die Gleichungen $\begin{eqnarray*} \text{1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{3)} \end{eqnarray*}$ bilden ein lineares Gleichungssystem in den Größen $\begin{eqnarray*} x^2,y^2 \end{eqnarray*}$ . Es kann eindeutig nach $\begin{eqnarray*} x^2,y^2 \end{eqnarray*}$ aufgelöst werden. Beim weiteren Auflösen nach $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ sind jeweils zwei Vorzeichen für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ denkbar, also vier Vorzeichenkombinationen. Davon sind aber nur jeweils zwei gültige Lösungen. Welche es sind, hängt von den Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ab. Hat man eine gültige Vorzeichenkombination, so erhält man die andere durch Umkehren der beiden Vorzeichen.

31.10.2012, 18:23

stambo8820

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erst einmal danke für die Antwort...

Mir ist nur nicht klar - wie mir das weiterhilft... für Dumme:

Ich kann aus
1) $\begin{eqnarray*} x^2-y^2=a \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=r \end{eqnarray*}$
zwar herleiten, dass:
(gem.1) $\begin{eqnarray*} x^2=a+y^2 \end{eqnarray*}$
also in 3) eingesetzt: $\begin{eqnarray*} a+y^2+y^2=r \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} 2y^2=r-a \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} y^2=1/2(r-a) \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} y= \pm \sqrt{\frac{1}{2} (r-a) } \end{eqnarray*}$

und entsprechend:
gem 1) $\begin{eqnarray*} y^2=-a+x^2 \end{eqnarray*}$
und in 3) eingesetzt: $\begin{eqnarray*} x^2 -a+x^2=r \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} 2x^2=r+a \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} x^2=1/2 (r+a) \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} x= \pm \sqrt{\frac{1}{2} (r+a) } \end{eqnarray*}$

aber wie komme ich jetzt zu einer Fallunterscheidung. Du schreibst: es hängt von den Vorzeichen von a und b ab - das verstehe ich nicht

und wie komme ich nun auf die Halbwinkelformel?

ich würde ja spontan die Additionstheoreme nutzen - aber ich komme da nicht gedanklich durch!

sorry !

Grüße,
der Unwissende

31.10.2012, 19:07

Leopold

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Wir haben vorhin eine Gleichung quadriert. Das ist keine Äquivalenzumformung, sondern nur eine Folgeumformung. Das heißt, es können dadurch zwar keine Lösungen verloren gehen, aber sich falsche Lösungen dazuschleichen. Daher ist mit den Ergebnissen immer die Probe zu machen.

$\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \left( a + r \right)} \, , \ \ y = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \left( -a + r \right)} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \text{1)} \end{eqnarray*}$ ist für alle möglichen Vorzeichenkombinationen erfüllt. Denn beim Quadrieren fällt das Vorzeichen sowieso weg, und man rechnet nach

$\begin{eqnarray*} x^2 - y^2 = \frac{1}{2} \left( a + r \right) - \frac{1}{2} \left( -a + r \right) = a \end{eqnarray*}$

Das ist also kein Problem. Dagegen macht die Gleichung $\begin{eqnarray*} \text{2)} \end{eqnarray*}$ Sorgen. Setze einfach einmal die "Lösungen" ein und schau, was sich jeweils ergibt. Kommt wirklich immer $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ heraus?

31.10.2012, 21:37

stambo8820

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mmmmmmmmh....

ich blicke noch nicht durch...

also - dass die Gleichungen
1) $\begin{eqnarray*} a=x^2-y^2 =...=a \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, ist einsichtig
auch dass:
$\begin{eqnarray*} r = x^2-y^2=...=r \end{eqnarray*}$ erfüllt ist -
und zwar ohne Einschränkungen - ist einsichtig....

Bleibt noch - wie du sagst -
$\begin{eqnarray*} b=2xy \end{eqnarray*}$
was ist also
$\begin{eqnarray*} 2xy = 2(\pm (\frac{1}{2} (r-a))^{1/2}) (\pm (\frac{1}{2}(r+a))^{1/2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm \pm 2( (\frac{1}{2} (r-a))^{1/2}) ( (\frac{1}{2}(r+a))^{1/2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm \pm 2( (\frac{1}{2} (r-a)\frac{1}{2}(r+a))^{1/2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm \pm 2( (\frac{1}{4} (r^2+a^2))^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm \pm 2\frac{1}{2}( r^2+a^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm \pm ( r^2+a^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$ (4)

ich hab das mal so aufgeschrieben, damit meine "Probleme" Gedanken etwas klarer werden.
Was darf ich da jetz für Schlüsse raus ziehen????

gem Bedingung 1 sollte ja
$\begin{eqnarray*} r = ( b^2+a^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$

wie kann ich daraus im Vergleich zu (4) jetzt sinnvolle Schlüsse ziehen - was ist mit den Fällen, habe ich was falsch gemacht/gedacht... Oh Mann - schlimm sowas - wie unfähig man sein kann :-(

Fragen über Fragen ;-))

Danke noch mals ür die bisherige Hilfe!!!

greetings

31.10.2012, 21:47

Leopold

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Im wesentlichen stimmt der Weg. Allerdings hast du an einer entscheidenden Stelle einen Fehler gemacht, nämlich bei der dritten binomischen Formel. Deswegen kommt auch das, was eigentlich herauskommen soll, nicht heraus.

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31.10.2012, 22:11

stambo8820

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Ups
der Fehlerteufel! Teufel

Teufel

richtig wäre natürlich:

$\begin{eqnarray*} b= 2xy = 2(\pm (\frac{1}{2} (r-a))^{1/2}) (\pm (\frac{1}{2}(r+a))^{1/2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm \pm 2( (\frac{1}{2} (r-a))^{1/2}) ( (\frac{1}{2}(r+a))^{1/2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm \pm 2( (\frac{1}{2} (r-a)\frac{1}{2}(r+a))^{1/2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm \pm 2( (\frac{1}{4} (r^2-a^2))^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm \pm 2\frac{1}{2}( r^2-a^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \pm \pm ( r^2-a^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$ (4)

vergleicht man dies nun mit Bedingung 1
$\begin{eqnarray*} r = ( b^2+a^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir also in (4) noch die zweifache +/- Version drin...., also eben:
$\begin{eqnarray*} b = \pm \pm ( r^2-a^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$
wenn ich das quadriere - veränder ich da nicht die Lösungsmengen wieder?!?
das würden eben dann die +/- durch qaudrieren wegfallen:
$\begin{eqnarray*} b^2 = r^2-a^2 \end{eqnarray*}$
das wäre aber dann auch :
$\begin{eqnarray*} r^2 = a^2+b^2 \end{eqnarray*}$
und wenn ich hier wieder die Wurzel ziehe wäre das eben:
$\begin{eqnarray*} r = \pm (a^2+b^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$

Was habe ich da ggf. auf dem Weg falsch gedacht - bzw welche Schlüsse kann ich daraus ziehen?!?

uiuiui

31.10.2012, 22:21

Leopold

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Wenn du mit $\begin{eqnarray*} b = \ldots \end{eqnarray*}$ anfängst, unterstellst du das, was du wünschst, als richtig. So geht das nicht. Schließich wollen wir ja eine Probe machen. Du kannst so rechnen:

$\begin{eqnarray*} 2xy = \ldots = \pm \sqrt{r^2 - a^2} = \pm \sqrt{a^2 + b^2 - a^2} = \pm \sqrt{b^2} \end{eqnarray*}$

Das Vorzeichen richtet sich nach den Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ . Sind deren Vorzeichen gleich, ergibt die Rechnung für $\begin{eqnarray*} 2xy \end{eqnarray*}$ hier ein Pluszeichen, ansonsten ein Minuszeichen.

Und nun?

31.10.2012, 23:04

stambo8820

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Ah - ja... klaro: darf natürlich nicht mit b= beginnen - ich Dummi

also $\begin{eqnarray*} 2xy = \pm \sqrt{b^2} \end{eqnarray*}$ (5)

darf ich das auch umschreiben (wenn ich die Wurzel auflöse) in
$\begin{eqnarray*} \pm 2xy = r \end{eqnarray*}$ (6)
und von dau aus überlegen? (oder habe ich damit das +/- vor der Wurzel "vergessen"?)

ausgehend von (5) stimmt natürlich:
2xy ist für gleiche Vorzeichen von x und y macht aus dem +/- ein +
verschiedene Vorzeichen machen dann aus dem +/- ein -

das würde ja dann das Vorzeichen von b auf der rechten Seite entgenwirken:
bei x<0 und y>0 wäre dann das +/- ein - => und das würde dann für b ja ein anderes Ergebnis bringen als in der Formel 2xy=b !

Falls das der Punkt wäre - wie mache ich das dann mit einer Fallunterscheidung?!?

01.11.2012, 08:31

Leopold

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Zitat:

Original von stambo8820
$\begin{eqnarray*} \pm 2xy = r \end{eqnarray*}$ (6)

Wo kommt denn hier $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ auf einmal her? Meinst du $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ?
Aber genau da liegt der Hase im Pfeffer: Nur für positive Zahlen sind Quadrieren und Wurzelziehen Umkehrungen voneinander. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ kann aber auch negativ sein. Allgemein gilt daher nur:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{b^2} = |b| \end{eqnarray*}$

Je nach Vorzeichenkombination von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ erhältst du daher

$\begin{eqnarray*} 2xy = \pm |b| \end{eqnarray*}$

Unser Ziel ist es aber, $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ herauszubekommen. Wir müssen daher in Abhängigkeit vom Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die richtigen Vorzeichenkombinationen wählen.

Ist $\begin{eqnarray*} b \geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} b = |b| \end{eqnarray*}$ , wir brauchen also oben das positive Vorzeichen. Das bekommen wir, wenn wir $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die gleichen Vorzeichen geben (zweimal plus oder zweimal minus).

Ist dagegen $\begin{eqnarray*} b \leq 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} b = -|b| \end{eqnarray*}$ , wir brauchen also das negative Vorzeichen. Das bekommen wir, wenn wir $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ verschiedene Vorzeichen geben.

Beispiel 1

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1 + 3 \operatorname{i}} \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} b=3 \end{eqnarray*}$ , also positiv. Wir brauchen bei $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ gleiche Vorzeichen. Man berechnet $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{10} \end{eqnarray*}$ und hat damit

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac{1}{2} \left( \sqrt{10} - 1 \right)} \, , \ \ y = \sqrt{\frac{1}{2} \left( \sqrt{10} + 1 \right)} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x = - \sqrt{\frac{1}{2} \left( \sqrt{10} - 1 \right)} \, , \ \ y = - \sqrt{\frac{1}{2} \left( \sqrt{10} + 1 \right)} \end{eqnarray*}$

Die beiden Wurzeln der komplexen Zahl sind also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1 + 3 \operatorname{i}} = \pm \left( \sqrt{\frac{1}{2} \left( \sqrt{10} - 1 \right)} + \operatorname{i} \sqrt{\frac{1}{2} \left( \sqrt{10} + 1 \right)} \right) \end{eqnarray*}$

Beispiel 2

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4 - 3 \operatorname{i}} \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} b=-3 \end{eqnarray*}$ , also negativ. Wir brauchen bei $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ verschiedene Vorzeichen. Man berechnet $\begin{eqnarray*} r = 5 \end{eqnarray*}$ und hat damit

$\begin{eqnarray*} x = - \sqrt{\frac{1}{2} \left( 5+4 \right)} = - \frac{3}{2} \, \sqrt{2} \, , \ \ y = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 5-4 \right)} = \frac{1}{2} \, \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 5+4 \right)} = \frac{3}{2} \, \sqrt{2} \, , \ \ y = - \sqrt{\frac{1}{2} \left( 5-4 \right)} = - \frac{1}{2} \, \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Die beiden Wurzeln der komplexen Zahl sind also

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4 - 3 \operatorname{i}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \left( -3 + \operatorname{i} \right) \end{eqnarray*}$

Wenn du zur Polardarstellung übergehst:

$\begin{eqnarray*} c = a + \operatorname{i} b = r \cos \varphi + \operatorname{i} r \sin \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{c} = \pm \left( \sqrt{r} \cos \frac{\varphi}{2} + \operatorname{i} \sqrt{r} \sin \frac{\varphi}{2} \right) \end{eqnarray*}$

dann müssen Real- und Imaginärteil beim Letzten die oben berechneten $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ sein, natürlich mit passendem Vorzeichen. Vielleicht findest du so die heißbegehrte Halbwinkelformel.

01.11.2012, 15:29

stambo8820

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uiuiuiui....

Herzlichsten dank - aber ich kann überhaupt nicht folgen!

vorab: sorry - Tippfehler - ich meinte:
$\begin{eqnarray*} \pm 2xy = b \end{eqnarray*}$ (6)

Meine Frage war eben - ob ich das so schreiben kann - genauer gesagt - das Problem liegt hier auch bei dem +/-

mir ist noch klar - und daraus resultierte dann auch meine Frage, dass
$\begin{eqnarray*} \sqrt {b} = | b | \end{eqnarray*}$
das bedeutet eben genau:
$\begin{eqnarray*} | b | = b \end{eqnarray*}$ für b>=0 bzw.
$\begin{eqnarray*} = -b [\latex] für b < 0<br /> <br /> nun haben wir aber hier geschrieben:<br /> [latex]2xy = \pm |b| \end{eqnarray*}$

1. Frage - warum noch ein +/- vor dem BEtrag - das wäre doch zusätzlich ein plus/minus - also neben dem Betrag (siehe Definition oben) noch zusätzlich ein plus/minus. Ist das wirklich zusätzlich?
2. Wenn ja - wir hatten gesagt - dass 2xy <0 for unterschiedliche Vorzeichen von x und y - und >0 für gleiche Vorzeichen - das kann ich noch verstehen...

so - und dann bricht jegliches Verständnis ab ! Jetzt argumentierst du in den Beispielen mit den Imaginären Wurzeln...

Wir hatten dch gerade noch die Formel 2xy = +/- |b| - und jetzt auf einmal haben wir ein eine Wurzel mit zwei Elementen drin - warum - wo sind wir da gedanklich - noc bein der Betragsformel 2xy = +/- |b| ??? oder sind wir da bei einer Formel weiter oben?!?

Also: Warum zwei Teile in der Wurzel! Wie kommen wir da gedanklich hin - von welcher Formel ausgehend?

was für eine Formel benutzt du da für x,y - und warum?

Ich kann dir leider nicht folgen - und dann noch der Teil - in dem du dann noch die Polardarstellung nutzt. ich kennen zwar diese Darstellungsform - aber wie hängt das zusammen -worauf soll es deuten?

Sorry ...

01.11.2012, 16:05

Leopold

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Jetzt solltest du einmal deutlich sagen, was du überhaupt willst. Ich war davon ausgegangen, daß dir klar ist, daß

$\begin{eqnarray*} x^2 - y^2 = a \, , \ \ 2xy = b \end{eqnarray*}$

Real- und Imaginärteil der Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^2 = c \ \ \text{mit kanonisch} \ \ z = x + \operatorname{i} y \, , \ c = a + \operatorname{i} b \end{eqnarray*}$

sind, daß du also letztlich $\begin{eqnarray*} z = \sqrt{c} \end{eqnarray*}$ im Komplexen berechnen willst. Das habe ich aus deinem $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , dem Reden vom Halbwinkelsatz und so weiter geschlossen. Beim Berechnen von komplexen Wurzeln werden nämlich Winkel halbiert.

Aber wenn du das alles gar nicht kennst, dann sag, was du kennst und in welchem Bereich der Mathematik du dich gerade befindest, wo dir solch eine Aufgabe gestellt wird. Und das Allerwichtigste: Welche Aufgabe eigentlich? Bitte gib deutlich die Voraussetzungen an und formuliere die Aufgabe präzise. So halbgares Zeug ist wirklich unverdaulich ...

03.11.2012, 14:01

stambo8820

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nun - ich hatte den Imaginärteil nicht ins Spiel gebracht. Die Herleitung soll aus den drei Bedingungen erfolgen (Problembeschreibung ganz oben) und die Halbwinkelform von cos bzw. sin ergeben. Ich kenne I zwar - aber die Frage ist - ob das hier absolut notwendig ist. Ich bin da absolut offen, was ich nur meinte, war - dass mir der Schritt hin zu dem Imaginärteil mit der Wurzel mit zwei Komponenten (sei es jetzt z=a+bi oder einfach nur z=a+b im reelen) nicht klar wird.

Warum muss / darf / soll man hier Richtung I denken?

Wir befinden uns in der Einführung der Analysis. Ich frage mich halt nur, ob der Weg über den in der Veranstaltung gar nicht bisher genutzten Menge I überhaupt notwendig ist. Und wenn er notwenig ist - war der Sprung für mich zu groß in der Erklärung, wie ich es in der letzten Mail versucht hatte, zu verdeutlichen.

Kurz - ich kann nicht folgen und bin mir nicht sicher, ob es nicht einen einfacheren Weg gibt - bin aber da ganz offen...

Mein Einwand war nciht als bösartige Kritik zu verstehen! Ich wollte lediglich aufzeigen - was mir Probleme bereitet.

Es tut mir leid, wenn ich die dir nicht so direkt folgen kann!

03.11.2012, 14:12

stambo8820

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Nachtrag:

Deine Aussage:

Aber wenn du das alles gar nicht kennst, dann sag, was du kennst und in welchem Bereich der Mathematik du dich gerade befindest, wo dir solch eine Aufgabe gestellt wird. Und das Allerwichtigste: Welche Aufgabe eigentlich? Bitte gib deutlich die Voraussetzungen an und formuliere die Aufgabe präzise. So halbgares Zeug ist wirklich unverdaulich ...

Dazu:
Ich würde mich freuen, wenn du in Zukunft eine solche Ausdrucksform wie "halbgar" unterlassen würdest. Ich bin sehr dankbar über eine Hilfestellung. Jedoch habe ich m.E. meine Aufgabe klar definiert. Ich habe die Gleichungen angegeben (s.o.) und das Ziel definiert. Ich habe in keiner Weise I ins Spiel gebracht - und es ist einem Mathematiker wohl klar, dass ich nicht alles aufführen kann, was ich "NICHT" benutzen kann/darf/soll. Ich habe dich nicht angegriffen - noch kritisiert - ich habe lediglich darauf hingewiesen - dass ich dir an einer Stelle nicht folgen kann. Du selbst sagst, du hast mutmaßlich aus den Aussagen etwas geschlossen.
Eine Frage wie: "Welche Aufgabe überhaupt?" ist für mich nicht nachvollziehbar - wenn man die Problemstellung hier vom Anfang an liest.

Wie gesagt - ich freue mich über jede Hilfe - und bin sehr dankbar - ich möchte nicht ungerecht werden, aber das erwarte ich auch von jemanden - der Hilfe gibt!

Herzlichen Dank

03.11.2012, 14:57

Leopold

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Du sollst $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} r,a \end{eqnarray*}$ bestimmen. Gut, das haben wir bereits erledigt:

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \left( a + r \right)} \, , \ \ y = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \left( -a + r \right)} \end{eqnarray*}$

Und daß nur die Vorzeichenkombinationen erlaubt sind, die bei $\begin{eqnarray*} 2xy \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ vorzeichenrichtig liefern, dazu habe ich bereits mehrere Beiträge verfaßt. Unter anderem habe ich dir in zwei Beispielen verdeutlicht, wie das Vorzeichen in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zu wählen ist. Dort ist auch von Wurzeln komplexer Zahlen die Rede. Wenn du das nicht kennst, überlies es einfach und beschäftige dich mit den Gleichungen $\begin{eqnarray*} \text{1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{2)} \end{eqnarray*}$ direkt. $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ entnimmst du den Beispielen (in Beispiel 1 ist $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=3 \end{eqnarray*}$ ). Mache auch bei beiden Beispielen die Probe, daß die Gleichungen $\begin{eqnarray*} \text{1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{2)} \end{eqnarray*}$ tatsächlich erfüllt sind, bei anderen Vorzeichenkombinationen dagegen nicht erfüllt wären.

So weit, so gut.

Was mir immer noch nicht klar ist: Wie willst du jetzt aus dem System der Gleichungen $\begin{eqnarray*} \text{1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{2)} \end{eqnarray*}$ einen Zusammenhang herstellen mit den Halbwinkelformeln? Ich kenne da wohl Zusammenhänge. Nur einen naheliegenden, der nämlich über Wurzeln komplexer Zahlen und ihre Polardarstellung geht, den scheinst du nicht zu kennen.
Und da ich immer noch nicht weiß, was du nun kennst, in welchem Zusammenhang die ganze Aufgabe steht, kann ich dir nur schwer helfen. Ich könnte natürlich jetzt einen anderen Erklärungsversuch starten. Aber dann kommst du vielleicht wieder und sagst:

Zitat:

Original von stambo8820
Ich kann dir leider nicht folgen

Ich kann bei der Zubereitung des Menüs nicht helfen, wenn ich nicht weiß, welche Zutaten die Küche bereithält. Und so rührt man halt, was grade so daliegt, alles in einen Topf. Und wenn man dann auf einmal Mehl braucht, heißt es: Ja, das haben wir nicht da. Gut, sage ich, und Kartoffeln? Auch nicht, heißt es. Was ist dann da, frage ich? Antwort: Weiß ich nicht.

Ich starte dennoch einen weiteren Versuch. Sind dir die Formeln für das doppelte Argument bekannt?

$\begin{eqnarray*} \cos(2 \varphi) = \ldots \, , \ \ \sin(2 \varphi) = \ldots \end{eqnarray*}$

Dann vergleiche die einmal mit deinem Gleichungssystem. Was spielt die Rolle von $\begin{eqnarray*} x,y,a,b \end{eqnarray*}$ ?

03.11.2012, 19:22

stambo8820

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Hello again!

Also - wir hatten sicherlich die Additionstheoreme - die hier wohl auch genutzt werden sollen. Außerdem haben wir zuletzt auch die Gleichungen für den Doppelwinkel (wenn man das so nennen darf).

03.11.2012, 23:34

stambo8820

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Präzision:

Nachdem ich nun rücksparche gehalten habe und nochmal die Unterlagen durchgearbeitet habe, läßt sich vermuten, dass ich zuerste eine Lösungen zu finden habe, die wir im o.a. Form bereits quasi erstellt haben, also die Gleichungen für x=(1/2(r+a))^(1/2) und für y....

Nächster Schritt soll dann sein, mit Hilfe des Ergebnisses sowie der Additionstheoreme die Gleichungen für die Halbwinkel herzuleiten.

Ich habe natürlich festgestellt, dass Sie quasi identisch sind, besser gesagt, was x,y,a,b in diesem Falle ist, aber wie kann ich denn aus der Lösung für x und y den Spezialfall der Halbwinkel herleiten, ohne einfach stumpf zu sagen: x = cos(s/2); r=1 .... und dann die Formel hinzuscreiben. Da kommen ja jetzt Teile mit halbem und ganzem Winkel vor, wenn man den obigen Herleitungen folgt und dann quasi die Schritte an Stelle von x,y,a,b die entsprechenden Größen nimmt - aber mir ist der geometrische Bezug da nicht klar! Natürlich kann ich aus den Funktionalgleichungen die Gleichung für doppelte Winkel herleiten, und daraus kann man die Halbwinkelformel herleiten, aber dann benutze ich ja das Ergebnis hier von oben gar nicht.

Oh mannnooooo...

04.11.2012, 11:53

Leopold

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Zitat:

Original von stambo8820
Hello again!

Also - wir hatten sicherlich die Additionstheoreme - die hier wohl auch genutzt werden sollen. Außerdem haben wir zuletzt auch die Gleichungen für den Doppelwinkel (wenn man das so nennen darf).

Hättest du mir das nur gleich gesagt ... traurig

traurig

Da hätten wir uns den kleinen Disput sparen können.

Zitat:

Original von stambo8820
ohne einfach stumpf zu sagen: x = cos(s/2); r=1 .... und dann die Formel hinzuscreiben.

Manchmal ist die Mathematik stumpf. Wenn man eine Formel hat, kann man sie auch anwenden, sofern die Voraussetzungen dafür vorliegen. Du mußt also nicht mehr die ganze Herleitung, jetzt mit trigonometrischen Ausdrücken, wiederholen. Nein, du mußt nur einsetzen. Discountmathematik - wie in der Schule.

Höchstens noch ein paar Gedanken darauf verschwenden, wann in den Formeln das Plus- und wann das Minuszeichen vor den Wurzeln stehen muß, am besten anhand der Vorzeichenbereiche von Sinus und Cosinus. Vielleicht ist ja auch der Winkelbereich in der Aufgabe eingeschränkt, so daß nur ein Vorzeichen in Frage kommt: Aufgabe genau lesen.

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