Zeigen, dass (D, °) Gruppe ist

31.10.2012, 20:35

selphiron

Zeigen, dass (D, °) Gruppe ist

Guten Tag,

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ definieren wir Abbildungen:
$\begin{eqnarray*} s_{m} , r_{m} : \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z s_{m} (n) = m + n r_{m} (n) = m - n \end{eqnarray*}$

und setzen
$\begin{eqnarray*} D := \{ r_{m} : m \in \mathbb Z \} \bigcup \{ s_{m} : m \in \mathbb Z \} . \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} (D, \circ ) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist.Dabei bezeichne $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ das Hintereinanderausführen von Abbildungen.Ist diese Gruppe abelsch?

An sich weiss ich wie man eine Gruppe zeigen muss.Man muss zeigen, dass die Operation assoziativ ist, das inverse sowie das neutrale Element finden.
Das inverse Element bei Verknüpfungen sind meistens die Umkehrfunktion (?) und das neutrale Element die Identätsfunktion(?) aber wie zeige ich die Assoziativität?
Mein Hauptproblem: ich weiss nicht, was D sein soll.Ich verstehe dieses Konstrukt einfach nicht.Wo sind die ganzen n's aus den obigen Formeln geblieben?..

Vielen dank für eure Antworten.

mfg
Selphiron

31.10.2012, 21:40

Leopold

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Die $\begin{eqnarray*} s_m,r_m \end{eqnarray*}$ sind spezielle Permutationen (bijektive Abbildungen) von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Die Menge $\begin{eqnarray*} S(\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ aller Permutationen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ bildet mit der Verkettung als Operation bekanntlich eine Gruppe, die symmetrische Gruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ eine nichtleere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} S(\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ . Es genügt daher zu überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ gegenüber der Verkettung und dem Übergang zum Inversen, also zur Umkehrabbildung, abgeschlossen ist. Das Assoziativgesetz erbt $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} S(\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ .

Die Abbildungen selber sind die Objekte der Betrachtung. Daher benötigt man $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bei der Festlegung von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ nicht mehr. Sobald man aber etwas über die Abbildungen herausbekommen will, muß man ihre Wirkung auf den Elementen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ betrachten. Da kommen die dann wieder ins Spiel.

31.10.2012, 22:20

selphiron

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Danke für die Antwort aber der Groschen steckt fest.
Also D ist eine Vereinigung aus 2 Mengen..aber diese 2 Mengen kann ich nicht entschlüsseln.
Ich habe einfach mal folgendes Beispiel genommen:
m=2 n=3
$\begin{eqnarray*} s_{2} (3) = 2+3=5 r_{2} (3) = 2-3 = -1 D= \{ ??? \} \bigcup \{ ??? \} \end{eqnarray*}$

Danke nochmal

31.10.2012, 22:33

Leopold

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Wir könnten einmal untersuchen, was $\begin{eqnarray*} s_m \circ s_{m'} \end{eqnarray*}$ gibt. Dazu wenden wir die Funktion auf ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} \left( s_m \circ s_{m'} \right)(n) = s_m \left( s_{m'}(n) \right) = s_m \left( m' - n \right) = m - \left( m' - n \right) = m - m' + n \end{eqnarray*}$

Dasselbe macht aber auch $\begin{eqnarray*} r_{m-m'} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} r_{m-m'}(n) = m-m' + n \end{eqnarray*}$

Abbildungen, die denselben Definitions- und Bildbereich haben und auf allen Elementen dieselbe Wirkung, sind aber gleich:

$\begin{eqnarray*} s_m \circ s_{m'} = r_{m-m'} \end{eqnarray*}$

Um etwas über diese Abbildungen herauszufinden, mußten wir also ihre Wirkung auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ studieren. Das Ergebnis sagt aber etwas über diese Abbildungen selbst aus, deswegen findet sich zuletzt das Argument $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht mehr.

Im übrigen habe ich gerade ein Stück des Abgeschlossenheitsnachweises erbracht: zwei gewisse Objekte aus $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ergeben verkettet wieder ein Objekt aus $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .

01.11.2012, 16:42

selphiron

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Hi!
also das mit n habe ich jetzt verstanden.Ich habe immernoch nicht verstanden, was das ganze in den Klammern soll.Kannst du mir das bitte in der deutschen Sprache mal hinschreiben, was da mathematisch steht? smile

01.11.2012, 16:51

Leopold

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Ich verstehe ehrlich gesagt dein Problem nicht. In den Klammern wird doch nur eine Menge definiert:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \, r_m \, : \, m \in \mathbb{Z} \, \right\} \end{eqnarray*}$

Das ist die Menge aller Abbildungen (die Abbildungen selbst sind also die Objekte) $\begin{eqnarray*} r_m \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die Menge der ganzen Zahlen durchläuft. Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist, könnte man die Menge auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \left\{ \, \ldots \, , r_{-3} \, , r_{-2} \, , r_{-1} \, , r_0 \, , r_1 \, , r_2 \, , r_3 \, , \ldots \, \right\} \end{eqnarray*}$

01.11.2012, 19:34

selphiron

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Also soll für die Assozuiativität das hier gezeigt werden?
$\begin{eqnarray*} \forall r_{m} , s_{m} , s_{m} ' \in D : ( r_{m} \circ s_{m}) \circ s_{m} ' = r_{m} \circ (s_{m} \circ s_{m} ' ) \end{eqnarray*}$

03.11.2012, 15:36

Leopold

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Schon die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} s'_m \end{eqnarray*}$ irritiert mich. Was soll der Strich bedeuten?
Beachte: Die $\begin{eqnarray*} r_m,s_m \end{eqnarray*}$ sind keine variablen Bezeichner, sondern konstante Bezeichner, d.h. Bezeichner für konkrete bestimmte Abbildungen. So wie in der Analysis $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ auch kein Bezeichner für irgendeine Funktion ist, die du dir gerade nach Bedarf frisch definieren darfst, sondern immer die Sinusfunktion meint.

So meint etwa $\begin{eqnarray*} r_3 \end{eqnarray*}$ nicht irgendeine Abbildung, sondern genau die Abbildung $\begin{eqnarray*} n \mapsto 3 - n \end{eqnarray*}$ ("subtrahiere $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ")

Die Abbildungen hier kann man am Index unterscheiden. Willst du also mit verschiedenen Abbildungen arbeiten, kannst du

$\begin{eqnarray*} s_m, s_{m'}, s_{m_1}, s_{m^{*}}, \ldots \end{eqnarray*}$

oder ähnlich schreiben. Oder du führst variable Bezeichner für die Abbildungen ein. Dann mußt du so etwas wie

$\begin{eqnarray*} f,g \in D \end{eqnarray*}$

schreiben. Dann weiß man, daß $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ gewisse der $\begin{eqnarray*} r_m,s_m \end{eqnarray*}$ sein sollen, ohne genau zu wissen welche.

Und noch einmal zum Assoziativgesetz: Das mußt du nicht beweisen. Es gilt für die Hintereinanderausführungen von Abbildungen (sofern sie hintereinander ausführbar sind) immer. Immer.
Das hat also hier gar nichts mit den speziellen Abbildungen zu tun. Aber eigentlich habe ich das bereits gesagt:

Zitat:

Original von Leopold
Es genügt daher zu überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} \color{green} D \end{eqnarray*}$ gegenüber der Verkettung und dem Übergang zum Inversen, also zur Umkehrabbildung, abgeschlossen ist. Das Assoziativgesetz erbt $\begin{eqnarray*} \color{red} D \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \color{red} S(\mathbb{Z}) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt also zu den Abgeschlossenheitsnachweisen. Wie man so etwas macht, habe ich dir in einem früheren Beitrag schon vorgeführt. Jetzt mußt du noch die anderen Fälle behandeln.

09.11.2012, 17:43

selphiron

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Okay ich habe inzwischen die Lösung gesehen und ich könnte mich schlapplachen xD
Danke für deine Mühe, dass ich damit nicht geschafft habe..

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